5. Содержание отчета.

5.1. Отчет по работе оформляется в соответствии с требованиями стандарта предприятия СТП УПИ-1-85.

5.2. Структура отчета.

5.2.1. Название и цель работы.

5.2.2. Основные соотношения, используемые для расчетов.

5.2.3. Таблицы результатов численного моделирования.

5.2.4. Полученные графические зависимости.

5.2.5. Анализ результатов расчета и сравнение с экспериментальными данными.

5.2.6. Выводы.

6. Контрольные вопросы.

6.1. Что такое "Фонон"?

6.2. Каков вид зависимости частот фононов от волнового вектора в моделях:

- однородной структуры;

- одноатомной линейной цепочки;

- двухатомной линейной цепочки;

- трехмерной решетки из одинаковых атомов;

- трехмерной решетки с базисом?

6.3. Каков вид зависимости скорости переноса энергии фононами от волнового вектора? Как определить коэффициент упругости (модуль Юнга) кристалла на основе указанной зависимости?

6.4. В чем отличие акустических и оптических фононов? С чем связано существование запрещенной области частот колебаний в фононных спектрах кристаллов?

6.5. Что такое локальное (квазилокальное) колебание?

6.6. Как действует электромагнитное излучение инфракрасной области спектра на двухатомный ионный кристалл? Как зависит диэлектрическая проницаемость кристалла от частоты? Каков физический смысл существования области отрицательных значений диэлектрической проницаемости? Какие фононы называются продольными (поперечными)?

7. Пояснения к работе.

7.1. Понятие о фононах.

Колебания связанных в кристаллической решетке атомов твердых тел могут быть представлены совокупностью независимых упругих волн с волновым вектором k и частотой w(k), распространяющихся по объему кристалла. Это так называемые нормальные колебания решетки кристалла. С механической точки зрения любое нормальное колебание представляет собой гармонический осциллятор с энергией:

e(k)=w(k)[n(k)+1/2], n(k)=0,1,2,......., (1)

который можно рассматривать как совокупность n(k) квантов энергии w(k) плюс энергия основного состояния (1/2) w(k). Указанные кванты звуковой энергии (частицы звука), представляющие собой наименьшую порцию энергии возбуждения над основным уровнем, называются фононами. Таким образом, фононы являются квазичастицами с энергией e=w(k) и импульсом p=k, соответствующим ( в силу принципа корпускулярно-волнового дуализма ) гармоническим волнам с частотой w и волновым вектором k.

7.2. Фононы в одноатомных кристаллах.

Рассмотрим распространение упругих волн (движение фононов) в кристаллах, примитивная ячейка которых содержит один атом. К числу таких кристаллов относятся элементы со структурой объемноцентрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубической решетки, приведенные в Приложении 1 (таблица 1).

Наиболее простое математическое описание колебаний кубической решетки может быть дано для частных случаев распространения упругих волн вдоль направлений [100], [111] и [110], когда колебание является чисто продольным, или чисто поперечным. При этом все атомы в атомных плоскостях смещаются как единое целое в направлении, параллельном вектору распространения колебания k (продольное колебание), или перпендикулярном ему (поперечное колебание) (Рис.1).

Рис.1. Смещение атомных плоскостей при прохождении продольных (а) и поперечных (б) волн колебаний.

Упругая сила F_s, действующая на плоскость под номером "s" со стороны всех остальных плоскостей (s+p), в силу закона Гука будет пропорциональна изменению расстояния между плоскостями:

, (2)

где U_s, U_s+p - смещения плоскостей s и s+p из равновесных положений, a_p - силовая постоянная взаимодействия плоскостей s и s+p. Значение a_p зависит от расстояния между плоскостями и типа колебания (продольное, поперечное).

Уравнение движения атомов плоскости может быть записано в виде:

, (3)

где М-масса атома. Подставляя в уравнение движения решение в виде поперечной волны:

U_s+p= UЧe^i(s+p)akЧe^-iwt, (4)

где a - величина межплоскостного (межатомного) расстояния в выбранном кристаллографическом направлении, и проведя необходимые алгебраические преобразования, получаем дисперсионный закон:

. (5)

Полученное дисперсионное соотношение может быть упрощено, если учитывать взаимодействие только между ближайшими соседними плоскостями. В этом случае:

(6)

или

, (7)

где a - силовая постоянная взаимодействия ближайших соседних атомов в выбранном кристаллографическом направлении.

Зависимость w(k) представляет собой периодическую функцию с периодом 2p/a (рис.2). Область от -p/a до p/a для волнового вектора k содержит все независимые значения функции w(k) и называется первой зоной Бриллюэна. Любой вектор k', лежащий вне первой зоны Бриллюэна, может быть описан эквивалентным волновым вектором k первой зоны с помощью простого соотношения:

k' = k + 2pn/a, (8)

где n-целое число.

Рис.2. Дисперсионная зависимость w(k) частоты колебаний для одноатомной линейной решетки.