Завдання 5. Дослідження многогранника із застосуванням способів перетворення проекцій

Умова. На заданому многограннику визначити натуральні величини:

а) відстані між зазначеними паралельними ребрами;

б) перпендикуляра між зазначеними перехресними ребрами;

в) відстані від вершини до ребра або грані;

г) відстані від ребра до паралельної йому грані;

д) двогранного кута при зазначеному ребрі.

Приклад виконання завдання наведений у додатку 6.

За даною умовою студент виконує тільки два завдання, зазначені в 17роек. 6, відповідно до індивідуального варіанта завдання.

Мета завдання – засвоєння способів перетворення креслення для розв‘язання метричних завдань.

Відстані між паралельними прямими, прямими й паралельними їм площинами, між перехресними прямими, від точки до прямої і площини, а також двогранні кути при заданому ребрі проектуються в натуральну величину, якщо прямі й площини, одна з перехресних прямих або ребро двогранного кута займають проектуюче положення. Тому завдання на визначення натуральної величини, заданої відстані або двогранного кута зводиться до такого перетворення креслення, у результаті якого зазначені елементи будуть займати 17роектую ч положення.

У вказаному завданні перше завдання потрібно розв‘язувати способом заміни площин проекцій, а друге – способом 17роектую чого17ьного переміщення. За своєю сутністю це принципово протилежні способи перетворення креслення. У способі заміни площин проекцій зображуваний об’єкт у процесі перетворення не змінює свого положення в просторі, вводяться лише площини проекцій (одна або дві), стосовно яких задані геометричні елементи об’єкта займають особливі положення. У способі 17роектую чого17ьного переміщення, навпаки, вихідні площини проекцій зберігають своє положення, зображуваний же об’єкт повертається й переміщається в просторі доти, поки не займе потрібне для розв‘язання завдання особливе положення.

Для визначення відстані від точки або прямої до площини досить зробити одну заміну площин проекцій (рис. 2). Щоб задана площина «виродилася» після першої заміни в пряму лінію, потрібно в цій площині провести лінію рівня (в цьому випадку це горизонталь h) і задати нову площину проекцій П₄ так, щоб вона була перпендикулярна до лінії рівня. Шукана відстань визначиться як перпендикуляр, опущений із нової проекції точки на «вироджену» проекцію заданої площини.

Якщо для рішення завдання необхідно перетворити одну із прямих загального положення 17роектую ч, то треба виконати дві заміни площин проекцій. Так, на рис.3 для визначення відстані між мимобіжними ребрами AB і SC ребро SC у результаті двох замін перетворено в пряму проектуючого положення.

Таблиця 5

Продовження таблиці 5

Закінчення таблиці 5

При цьому після першої заміни П₂ на П₄ ребро SC перетворилося в лінію рівня (стало паралельно П₄), а після другої заміни П₁ на П₅ – у пряму, що проектується (SC П₅ ).

На рис. 4 способом плоско паралельного переміщення визначені натуральні величини двогранного кута α при ребрі АВ і відстані l_нат від точки С до грані ABD.

Перше перетворення виконане з поворотом і переміщенням фігури паралельно до фронтальної площини проекцій.

Рис. 2

При такому переміщенні фронтальна проекція не змінює своєї форми й розмірів, залишаються постійними також відстані від усіх точок фігури до площини проекцій П₂ (координати Y), тому горизонтальні проекції точок фігури у вихідному й переміщеному положеннях лежать на лініях, паралельні осі X. Після першого перетворення ребро AB стало горизонталлю.

Друге перетворення виконане з переміщенням фігури паралельно горизонтальній площині проекцій, тому форма горизонтальної проекції (вигляд зверху) не змінилася. Висоти точок фігури також залишилися без зміни, тобто фронтальні проекції точок перемістилися по горизонтальних лініях.

У результаті двох переміщень ребро АВ на П₂ "виродилося" у точку, а грань" ABD – у пряму лінію.

Рис. 3

Порядок виконання завдання

1. За даними табл. 5 накреслити проекції заданого багатогранника.

2. Розв‘язати перше завдання способом заміни площин проекцій.

3. Розв‘язати друге завдання способом плоскопаралельного переміщення.

Рис. 4

Якщо при розв‘язанні першого завдання відразу може бути отримана відповідь і на умову другого завдання, то незважаючи на це розв‘язувати друге завдання способом плоскопаралельного переміщення потрібно обов'язково!

4.Виконати побудови на креслярському папері. Якщо рішення отримане компактним, то обидва завдання можна оформити на одному аркуші, використовуючи для розв‘язання ті самі вихідні проекції многогранника. В протилежному випадку можна кожне завдання виконати на окремому аркуші.

З огляду на те, що завдання даної роботи є метричними, всі побудови необхідно виконувати точно, строго дотримуючись лінійних розмірів, перпендикулярність, паралельність ліній і т.п.

При розв‘язанні завдання способом плоскопаралельного переміщення, де одна проекція многогранника, що повертається, не змінює своєї форми, можна скористатися шматочком кальки. Для цього кальку накладають на потрібну проекцію й голкою циркуля наколюють вершини многогранника. Позначивши на кальці вершини, переміщають її в потрібне положення і голкою циркуля переносять положення вершин на креслення. Таким способом можна прискорити побудови й підвищити їх точність.