Завдання 3. Дослідження ребер многогранника

Умова. Вказати назву многогранника, положення всіх його ребер, визначити натуральну величину одного з ребер загального положення й кути та його нахилу площин проекцій П₁ і П₂, побудувати сліди ребра загального положення.

Приклад виконання завдання наведений у додатку 4.

Мета завдання – засвоєння матеріалу за властивостями проекцій прямих і розвиток просторових понять по ортогональних проекціях многогранника.

Порядок виконання завдання

1.За даними табл. 3 відповідно до індивідуального варіанта завдання накреслити проекції многогранника й позначити буквами всі його проекції.

2. Позначити подвійними лініями неспотворені проекції ребер многогранника, подвійними дужками – натуральні величини кутів їхнього нахилу до площин проекцій П₁ і П₂.

3. Указати назву многогранника: чи це призма, чи піраміда – правильна або неправильна, пряма або похила, скільки містить кутів

Таблиця 3

Продовження таблиці 3

Закінчення таблиці 3

(кількість кутів відповідає числу бічних ребер), наприклад: правильна шестикутна піраміда, похила трикутна призма.

4.Указати на аркуші положення всіх ребер.

5. Способом прямокутного трикутника визначити натуральну величину будь-якого ребра загального положення й кути і його нахилу до П₁ та П₂, для чого побудувати два прямокутних трикутники, один на П₁, другий – на П₂. Перевірити правильність побудов, зрівнявши вимірником натуральну величину ребра по гіпотенузах трикутників, побудованих на П₁, і П₂.

6. Побудувати проекції горизонтального сліду Н та фронтального сліду F одного з ребер загального положення. Побудова слідів зрозуміла із прикладу виконання завдання (додаток 4).

Завдання 4. Дві взаємно перпендикулярні площини

Умова. Через дану пряму EF провести площину, перпендикулярну до заданої площини ABC. Побудувати лінію перетину площин.

Приклад виконання завдання наведений у додатку 5.

Мета завдання – засвоєння методів розв‘язання задач на перпендикулярність і взаємний перетин прямої та площини й двох площин.

Для виконання цього завдання необхідно опрацювати наступний матеріал:

головні лінії площини;

властивість проекцій прямого кута;

перпендикулярність прямій і площині;

перпендикулярність двох площин;

перетинання прямої із площиною;

взаємне перетинання двох площин;

мимобіжні прямі й визначення видимості геометричних елементів.

Наведемо деякі теоретичні положення, необхідні для виконання завдання.

Пряма m перпендикулярна до площини , якщо вона перпендикулярна до двох будь-яких прямих цієї площини, що перетинаються. Для зручності розв‘язання завдань на ортогональному кресленні в якості двох прямих що перетинаються площини краще використати її горизонталь h і фронталь f. У цьому випадкові прямий кут між горизонталлю h та прямою m відповідно до властивості проекцій прямого кута проектується без спотворення на П₁, а прямий кут між фронталью f і прямою m – на П₂. Отже, умова перпендикулярності прямої m і площини буде виглядіти так: якщо m , те m₁ h₁, m₂ f₂, де h і f – відповідно будь-які горизонталі й фронталі площини .

Дві площини перпендикулярні, якщо одна з них містить перпендикуляр до другої площини. Звідси зрозуміло, що для побудови площини, перпендикулярної до заданої площини і яка проходить через дану пряму, досить із будь-якої точки цієї прямої опустити перпендикуляр на задану площину.

Щоб побудувати лінію перетину двох площин, одна з яких задана двома прямими, що перетинаються, досить побудувати точки перетину цих прямих однієї площини із другою (заданою) площиною й з'єднати їх відрізком прямої лінії.

Завдання на побудову точок перетину прямої із площиною в загальному випадку розв‘язуються способом допоміжних січних площин у три дії:

1) пряма заключається в допоміжну січну площину проектуючого положення;

2) будується лінія перетинання площини із площиною ;

3) у перетині побудованої лінії із заданою прямою знаходиться шукана точка.

Порядок виконання завдання

1. За заданими координатами точок (табл. 4) накреслити проекції трикутника ABC і прямої EF.

2. Провести в площині трикутника ABC горизонталь h та фронталь f.

3. Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини, опустити із точки Е перпендикуляр m на площину трикутника. Площина, утворена прямою EF і перпендикуляром m, буде перпендикулярна до заданої площини ABC.

4. Побудувати точки перетинання прямої EF і перпендикуляра m із площиною трикутника ABC та з'єднати їх прямою лінією.

5.Визначити видимість площин.

Таблиця 4

Номер варі-анта	Координати точок
	A			B			C			E			F
	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z
1	80	35	65	46	16	16	14	69	42	33	12	89	56	57	22
2	118	0	0	60	64	64	26	0	37	47	67	5	63	10	75
3	139	86	6	61	0	66	21	0	33	70	60	70	41	5	22
4	87	57	87	9	36	74	51	6	9	30	43	7	93	41	33
5	102	10	13	56	73	55	23	32	0	72	89	5	30	58	44
6	84	36	0	51	6	76	19	68	39	42	8	16	28	74	56
7	87	45	74	44	14	12	0	69	46	34	10	51	23	73	14
8	87	57	27	9	36	74	51	6	9	30	49	7	51	6	80
9	90	37	74	44	80	14	0	0	47	83	65	80	85	51	55
10	118	0	0	60	64	64	26	0	37	47	67	5	63	10	15
11	87	57	27	9	36	74	51	6	9	61	10	45	14	35	65
12	102	10	ІЗ	56	73	55	23	32	0	72	89	5	93	32	53
13	87	45	74	44	14	12	0	69	46	34	10	51	80	46	51
14	90	37	74	44	80	14	0	0	47	33	65	80	18	5	30
15	27	0	35	55	75	5	86	38	67	21	48	50	14	5	11
16	19	74	37	64	12	80	108	47	0	40	28	17	27	96	54
17	108	47	0	20	75	37	64	13	78	75	80	65	90	30	5
18	90	37	74	44	80	14	0	0	47	67	17	30	81	64	97
19	84	36	0	51	0	76	19	68	39	84	50	50	62	12	5
20	35	73	85	70	35	0	0	0	40	66	10	80	30	10	10
21	87	57	27	9	36	74	51	6	9	61	10	45	80	65	20
22	102	10	ІЗ	56	73	55	23	32	0	32	25	79	97	48	23
23	84	36	0	51	6	76	19	68	39	42	8	16	88	40	20
24	90	37	74	44	80	14	0	0	47	67	17	30	15	60	30
25	22	0	35	55	75	5	86	38	67	21	48	50	91	49	28
26	19	74	37	64	12	80	108	47	0	40	28	17	93	33	57
27	І08	47	0	20	75	37	64	ІЗ	78	75	80	65	23	55	34
28	87	45	74	44	14	12	0	69	46	66	67	5	3	55	62
29	102	10	ІЗ	56	73	55	23	32	0	32	25	79	89	84	5
30	84	36	0	51	6	76	19	68	39	84	50	50	10	27	50