Лекция 4

Предыдущее изложение показало, что понятие алфавитного оператора является общим и к этому понятию сводятся или могут быть сведены любые процессы преобразования информации. В теории алгоритмов под информацией принято понимать не только осмысленные сообщения, но и всякие сведения о процессах и состояниях любой природы, которой могут быть восприняты органами чувств человека или приборами. Для таких спец. Видов информации как лексическая или числовая алфавит способ задания является самым естественным . Преобразование этих видов информации сводится к реализации алфавитных операторов. Входная информация и выходная информация в любом преобразователе информации представляется в виде слов, а само преобразование информации сводится к установлению некоторого соответствия между словами. Не трудно расширить область применения алфавитных операторов используя алфавитное представление других видов информации. Например, трактовка шахматного алгоритма, как процесса установления соответствия между любой данной позицией и позицией, которая возникает из нее после выполнения очередного хода. Если записывать шахматные позиции в виде слов в определенном входном алфавите, указанное соответствие можно трактовать и устанавливать с помощью некоторого вероятностного алфавитного оператора. Аналогично, на базе рассмотренных теоретических положений можно рассматривать в виде процессов реализации алфавитных операторов другие разнообразные процессы преобразования информации (аранжировка мелодии, решение мат. задач и т.д.). Понятие алфавитного оператора оказывается вполне достаточным даже для характеристики преобразования непрерывной информации, такой как зрительная информация например.

Таким образом, любой реальный преобразователь информации может рассматриваться как прибор, реализующий некоторый алфавитный оператор. А значит, понятие алфавитного оператора является настолько общим, что к его изучению может быть сведена любая теория преобразования информации. Это позволяет считать теорию алфавитных операторов важной составной частью теории алгоритмов.

Основой теории алфавитных операторов является способ его задания. В случае, если область определения алфавитного оператора конечна, то он может быть задан в виде простой таблицы соответствия.

I	аi	Гai
1	а1	б4
2	а2	б3
3	а3	б2
4	а4	б1

В случае, если область определения алфавитного оператора окажется бесконечной, задать его в виде таблицы соответствия будет принципиально не возможно. В этом случае алфавитный оператор можно задать системой правил, которая позволит за конечное число шагов найти выходное слово, которое соответствует любому заданному наперед входному слову из области определения данного алфавитного оператора. Алфавитные операторы, которые задаются системой правил принято называть алгоритмами. Необходимо понимать принципиальное различие между понятием алфавитного оператора и понятием алгоритма. В понятии алфавитного оператора существенным является конкретное соответствие, которое устанавливает оператор между словами, а не способ, которым это соответствие устанавливается. А понятии алгоритма — наоборот, основным является способ задания соответствия.

Таким образом, алгоритм — алфавитный оператор вместе с правилами, которые определяют его действие.

Два алфавитных оператора называются равными, если они имеют. Одну и туже область определения и сопоставляют любому наперед заданному входному слову из этой области одинаковые выходные слова.

Два алгоритма считаются равными, если равны соответствующие им алфавитные операторы и совпадает система правил задающая действие этих алгоритмов на выходные слова.

Два алгоритма называются эквивалентными, если им соответствует одинаковый алфавитный оператор, но не совпадает система правил.

Наиболее часто в абстрактной теории алгоритмов рассматривают такие алгоритмы, которым соответствует однозначные алфавитные операторы. Такие алгоритмы и соответствующие им алфавитные операторы называются детерминированными.

Массовость — это свойство алгоритма быть применимым к множеству строк.

Результативность — это свойство алгоритма для любой из множества строк обеспечивать получение однозначного результата через конечное число шагов.

Из свойства результативности вытекает понятие области применимости алгоритма — множество строк для которых алгоритм результативен.

В теории алгоритмов большое внимание уделяется общему (универсальному) способу задания алгоритмов. Указанные способы позволяют задать алгоритм эквивалентный любой наперед заданному алгоритму. Всякий общий способ задания алгоритма принято называть алгоритмической системой. При формировании (описании) алгоритмических систем используют специальные средства формализации. Благодаря этому, алгоритмические системы делят на 2 генеральные направления: алгебраические и геометрические.