2.07 Принципы симметрии, законы сохранения

Симметрия и противоположное ей свойство природы – асимметрия (или неполная симметрия) являются фундаментальными понятиями естествознания, т.к. они, в известной мере, отражают степень упорядоченности систем, вследствие чего, помогают восприятию порядка в хаотической Вселенной и позволяют из разрозненных фрагментов знания получить целостную картину мира.

Симметрия:

- предполагает неизменность (инвариантность) объекта или свойств объекта по отношению к каким-либо преобразованиям, операциям, выполненных над объектом (простейший пример: если куб повернуть на 90, то он будет выглядеть точно так же, как и до поворота)

- понятие симметрии, как неизменности свойств объекта по отношению к операциям, выполненных над объектом, можно применить к материальным объектам, физическим законам и математическим формулам.

В природе не все объекты обладают симметрией, но не бывает и полного отсутствия симметрии (асимметрия – такое состояние, при котором симметрия отсутствует)

Нарушенные (неполные) симметрии, примеры:

- «живым» молекулам, в отличие от «неживых» молекул, присуща так называемая хиральность (хиральность – понятие, характеризующее свойство объекта быть несовместимым со своим отображением в идеальном плоском зеркале). Так ориентация ДНК – спираль, всегда правая

- у высших биологических объектов, в отличие от низших, имеет место асимметрия – разделение полов, где каждый пол вносит в процесс самовоспроизведения, свойственную только ему, генетическую информацию

- асимметрия на уровне элементарных частиц – это преобладание в нашей Вселенной частиц над античастицами

Эволюция есть цепочка нарушений симметрии. Это обусловлено:

- наибольшей симметрией обладают равновесные хаотические состояния системы

- при переходе материи на более высокий уровень организации, упорядоченности – снижается энтропия (как мера хаотичности), а тем самым и симметрия

Можно считать, что возникновение жизни в целом связано со спонтанным нарушением, имевшейся до того в природе, зеркальной симметрии (под действием радиации, температуры и т.п.) и нашло свое отражение в генах живых организмов.

По мере упорядочения живых организмов (живых систем), их усложнения в ходе развития жизни (эволюции), асимметрия все больше и больше превалирует над симметрией, вытесняя ее из биологических и физиологических процессов.

Простейшие симметрии:

- однородность (одинаковые свойства во всех точках)

- изотропность (одинаковые свойства во всех направлениях)

Симметрия пространства и времени. Пространство и время обладают тремя фундаментальными свойствами – тремя видами симметрии, связанными с однородностью времени, с однородностью и изотропностью пространства. Все, ниже описанные представления, справедливы лишь в предположении, что пространство и время образуют непрерывные континуумы, т.е. не дискретны (не состоят из кусков):

- свойство, называемое непрерывностью пространства, заключается в том, что между двумя различными точками пространства, как бы близко они ни были, всегда есть третья

- свойство, называемое непрерывностью времени, определяется тем, что между двумя моментами времени, как бы близко они ни были расположены, всегда можно выделить третий

Однородность пространства – характеризует симметрию по отношению к переходу системы, как целого, в пространстве. Это собственно означает:

- любые точки пространства равноценны, т.е. перенос любого объекта в пространстве не влияет на процессы, происходящие с этим объектом (например, свойства атомов на Земле и других небесных объектах одни и те же)

- возможность произвольного выбора начала отсчета пространственных координат

Изотропность пространства – характеризует симметрию по отношению поворота системы как целого в пространстве. Это означает:

- любые направления в пространстве равноценны, т.е. в повернутой установке, лаборатории и т.п., все процессы протекают так же, как и до поворота

- возможность произвольного выбора направлений системы пространственных координат

Однородность времени – характеризует симметрию, относительно произвольного сдвига во времени. Это свойство означает:

- любой физический процесс протекает одинаковым образом, независимо от того, когда он начался, т.е. позволяет сравнивать результаты аналогичных опытов, проведенных в разное время

- возможность выбора любого момента времени за начальный.

Двойственность свойств вышеуказанных симметрий связана с тем, что их можно рассматривать с двух точек зрения – как изменения положения самой системы (в пространстве и времени) и как изменения положения наблюдателя (и связанной с ним системы отсчета)

Анизотропность времени

Выражается в существовании необратимых процессов.

Философская и естественнонаучная проблема, исторически связанная с началами термодинамики и понятием энтропии.

В классической механике время является абсолютной величиной; законы Ньютона инвариантны по отношению к направлению времени.

Теорема Нётер как общее утверждение о взаимосвязи симметрий с законами сохранения

Теорема Нетер. Наиболее общий подход к взаимосвязи симметрий и законов сохранения содержится в знаменитой теореме Э. Нетер. В 1918 г., работая в составе группы по проблемам теории относительности, доказала теорему, упрощенная формулировка которой гласит: если свойства системы не меняются относительно какого-либо преобразования переменных, то этому соответствует некоторый закон сохранения. Рассмотрим переходы от одной инерциальной системы к другой. Поскольку есть разные способы таких переходов, то, следовательно, есть различные виды симметрии, каждому из которых, согласно теореме Нетер, должен соответствовать закон сохранения.

Переход от одной инерциальной системы (ИСО) к другой можно осуществлять следующими преобразованиями:

1. Сдвиг начала координат. Это связано с физической эквивалентностью всех точек пространства, т.е. с его однородностью. В этом случае говорят о симметрии относительно переносов в пространстве.

2. Поворот тройки осей координат. Эта возможность обусловлена одинаковостью свойств пространства во всех направлениях, т.е. изотропностью пространства и соответствует симметрии относительно поворотов.

3. Сдвиг начала отсчета по времени, соответствующий симметрии относительно переноса по времени. Этот вид симметрии связан с физической эквивалентностью различных моментов времени и однородностью времени, т.е. его равномерным течением во всех инерциальных системах –отсчета. Смысл эквивалентности различных моментов времени заключается в том, что все физические явления протекают независимо от времени их начала (при прочих равных условиях).

4. Равномерное прямолинейное движение начала отсчета со скоростью V, т.е. переход от покоящейся системы к системе, движущейся равномерно и прямолинейно. Это возможно, т.к. такие системы эквивалентны. Такую симметрию условно называют изотропностью пространства-времени. Переход же осуществляется с помощью преобразований Галилея или преобразований Лоренца.

(Важно отметить, что физические законы не являются симметричными относительно вращающихся систем отсчета. Вращение замкнутой системы отсчета можно обнаружить по действию центробежных сил, изменения плоскости качания маятника и др. Кроме того, физические законы не являются симметричными и относительно масштабных преобразований систем – т.н. преобразований подобия. Поэтому законы макромира нельзя автоматически переносить на микромир и мегамир.)

Закон сохранения энергии как следствие однородности времени

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первого начала термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

Законы сохранения:

- это физические законы, согласно которым числовые значения некоторых физических величин, характеризующих состояние системы, в определенных процессах не изменяются

- эти законы играют роль принципа запрета: любой процесс, при котором нарушается хотя бы один из законов сохранения, невозможен

Закон сохранения импульса системы тел (частиц): в замкнутой системе (т.е. результирующая всех сил равна нулю) сумма импульсов системы остается постоянной

Закон сохранения момента импульса системы тел (частиц): в замкнутой системе сумма моментов импульсов системы остается постоянной (если к телам этой системы не приложены моменты внешних сил)

Законы сохранения (и превращения) энергии: суммарная энергия в замкнутой (изолированной) системе не изменяется (остается постоянной)

В 1918 г. Амалия Эмми Нетер установила связь между симметриями и законами сохранения.

Теорема Нетер: каждому виду симметрии должен соответствовать определенный закон сохранения:

- следствием однородности пространства является закон сохранения импульса

- следствием изотропности пространства является закон сохранения момента импульса

- следствием однородности времени является закон сохранения энергии.