Дифракция Фраунгофера от дифракционной решетки.

Прозрачная дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа щелей шириной а, разделённых непрозрачными промежутками шириной b. Щели решётки образуют правильную структуру. Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом или постоянной решетки. Период решётки равен d = c + b.

При дифракции на дифракционной решетке происходит интерференция в дифрагированных пучках и между пучками, в результате чего на интерференционную картину от одной щели накладывается интерференционная картина взаимной интерференции волн от разных щелей.

П усть на дифракционную решетку перпендикулярно её поверхности падает плоская волна  ( рис 6 ).

Рис 6

Если фронт волны в каждой щели разбить на узкие полоски – зоны равной ширины, то элементарные волны, идущие от каждой полоски в определённом направлении. Будут когерентными и будут иметь одинаковые амплитуды.

Вектор амплитуды результирующего колебания E₀ в некоторой точке Р можно найти как сумму векторных амплитуд отдельных колебаний следующим образом:

E₀ = E_0К,1  E_0К,2 +  E_0К,N = E₀₁ + E₀₂ + E _0N,

Где E_0i – вектор амплитуды колебаний, создаваемых i – щелью в точке Р.

Колебания двух соседних щелей отличаются по фазе на величину На векторной диаграмме каждый вектор амплитуды колебаний отдельной щели повёрнут относительно предыдущего на угол .

В направлениях, удовлетворяющих условию минимума для одной щели, будет выполнено условие минимума и для дифракционной решетки – прежние минимумы.

Для направлений с разностью фаз = 2 m, или разностью хода

dsin _mравной целому числу длин волн, возникает максимум. Условие максимума, называется главным, будет

dsin _m = m,

где m = 0, 1, 2, … - порядок дифракционного максимума,

 _m – угол дифракции,

 - длина волны,

d – постоянная дифракционной решетки.

При угле дифракции равным нулю векторы E_0i направлены вдоль одной прямой ( рис 7а ), т. к. разность фаз = 0 и результирующая амплитуда будет равна

E₀ = NE_0i

Рис 7а

E₀₁ E₀₂

Рис 7б

Где E₀₁ - амплитуда колебаний, соответствующая одной щели (

E₀₁ = E₀₂ = E₀₃ = E_0N ),

N – число щелей.

Интенсивность в направлении  = 0 будет

I₀ = CN² E²₀₁,

Т. е. Она пропорциональна N².

Во всех направлениях  _m таких. Что = 2m, все колебания будут иметь одинаковые фазы и амплитуды и все векторы Е_i будут направлены вдоль одной прямой. Амплитуда результирующего колебания будет

E^₀^= NE^m₀₁

Минимумы ( добавочные ) при интерференции между пучками будут наблюдаться в тех направлениях, в которых колебания, идущие от первой и последней щелей, будут отличаться по фазе на 2 ( рис 8а ).

Т. е.

N = 

Или

N = m’

Где  - разность фаз колебаний соответствующих участков соседних щелей,

N – число щелей,

m’ = 1, 2, 3.. кроме m’ = N; 2N;… , при которых выполнено условие главного максимума.

Рис 8а

Е = 0

Рис 8б

Е

Так как 

где - разность хода волн от соответствующих участков соседних щелей, то

 m’

Тогда добавочные минимумы будут наблюдаться при углах дифракции , удовлетворяющих условию

dsin_m’ = m’N; m’ = 1, 2, 3, …, N – 1, N+1…; m’  N, 2N, …

Добавочные минимумы располагаются в N – 1 раз чаще, чем главные максимумы. Между добавочными минимумами располагаются добавочные максимумы. Между двумя главными соседними максимумами располагается N – 2 вторичных максимума. Интенсивность этих максимумов не превышает 1/23 от значения интенсивности главных максимумов.

Примерное результирующие распределение интенсивности

дифракционной картины представлено на рисунке ( для N =4, d/b =3 ).

Рис 9

Пунктирная кривая даёт интенсивность от одной щели умноженной на N². Сплошная кривая соответствует главным максимумам, вторичным максимумам и добавочным максимумам.

Если на дифракционную решётку падает не монохроматический свет ( например белый ), то все максимумы, кроме центрального

(нулевого), разложатся в спектр, т. к. в одном и том же порядке условие максимума для каждой длины выполнено под своим углом дифракции. В спектре каждого порядка максимумы для более коротких волн располагаются ближе к нулевому максимуму. Максимумы для более длинных волн – дальше от него. В нулевом порядке условие максимума для всех длин волн. И он в спектр не разлагается.

Основными характеристиками дифракционной решётки являются угловая, или линейная дисперсия и разрешающая сила ( разрешающая способность ).

Угловая дисперсия определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу ( например 1 нм). Мерой угловой дисперсии служит величина

D = /, где  - угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающихся по длине волны на рис 10 ).

Разрешающая сила определяет минимальную разность между двумя длинами волн, при которой две спектральные линии, соответствующие указанным длинам волн, воспринимаются раздельно.

Разрешающая сила А вычисляется по формуле

А = /d

или А = mN,

где d- наименьшая разность в длинах волн двух наиболее близких разрешаемых спектральных линий и 

m – порядок спектра,

N – число действующих щелей решётки

меньшая из двух длин волн.

По критерию Релея две линии считаются разрешёнными, если ордината минимума составляет 0.75 от максимальных ординат суммарной кривой (рис 11).

Это будет тогда, когда максимум одной из кривых, соответствующий первой длине волны _, приходится на первый минимум кривой второй волны:

___

Разрешающая способность показывает, что чем меньше , между двумя длинами волн, тем более близкие линии можно будет наблюдать раздельно в дифракционном спектре данного продукта.