14. Поліном Жегалкіна. Лінійні функції

Поліномом Жегалкіна називається скінчена сума за модулем 2 попарно різних елементарних кон'юнкцій.

Кількість змінних, що входять до елементарної кон'юнкції, називають рангом елементарної кон'юнкції.

Кількість попарно різних елементарних кон'юнкцій полінома Жегалкіна називають довжиною полінома.

Теорема. Будь-яка булева функція може бути подана єдиним поліномом Жегалкіна.

Алгоритм побудови поліному Жегалкіна булевої функції, яка задана формулою алгебри Жегалкіна:

1. Розкрити дужки у заданій формулі. Для цього скористатись дистрибутивністю кон'юнкції відносно суми за модулем 2

2. Спростити вираз, використовуючи формули (1-4, п. 7).

Приклад 1. Записати поліном Жегалкіна для імплікації ().

Виконання.

.

Приклад 2. Записати поліном Жегалкіна для еквівалентності (~).

.

Булева функція називається лінійною, якщо вона може бути подана поліном Жегалкіна, що не містить кон'юнкцій змінних.

Приклад 3.

1. Заперечення – лінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна не містить кон'юнкцій змінних.

2. Диз'юнкція – нелінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна містить кон'юнкцію змінних х і у.

3. Імплікація – нелінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна (приклад 1) містить кон'юнкцію змінних х і у.

4. Еквівалентність є лінійною функцією, оскільки її поліном Жегалкіна (приклад 2) не містить кон'юнкцій змінних.

Приклад 4. Дослідити на лінійність функцію .

Виконання. Побудуємо поліном Жегалкіна:

.

Поліном Жегалкіна містить кон'юнкції змінних і тому функція

нелінійна.

Для будь-якої булевої функції існує лише один поліном Жегалкіна. Це дає можливість для його знаходження скористатись методом невизначених коефіцієнтів. Суть цього методу зрозуміла з прикладу.

Приклад 5. Побудувати поліном Жегалкіна для імплікації

,

використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

Виконання. Запишемо поліном для заданої функції у вигляді суми за модулем 2 всіх можливих елементарних кон'юнкцій змінних х і у з невизначеними коефіцієнтами:

, (*)

де коефіцієнти приймають значення з множини і визначають присутність або відсутність елементарних кон’юнкцій у поліномі.

Обчислимо значення функції на всіх словах з використанням (*):

;

;

;

.

Отже

.

Практичне заняття 10

Вправа 1. Записати поліном Жегалкіна для булевої функції заданої формулою булевої алгебри.

Виконання.

.

В підсумку.

.

Вправа 2. Побудувати поліном Жегалкіна функції методом невизначених коефіцієнтів.

Виконання.

.

.

.

.

.

В підсумку .

15. Функції, що зберігають нуль та функції, що зберігають одиницю. Монотонні функції

Булева функція називається функцією, що зберігає 0, якщо на нульовому слові вона приймає значення 0, тобто якщо

.

Булева функція називається функцією, що зберігає 1, якщо на одиничному слові вона приймає значення 1, тобто якщо

.

Приклад 1. Функції і зберігають нуль, оскільки

,

Крім того, ці функції зберігають одиницю оскільки

,

Приклад 2. Функція зберігає 1 і не зберігає 0, оскільки

,

Введемо на множині слів відношення порядку, яке будемо позначати символом . Нехай

і

– два слова. Тоді

,

якщо

, .

Якщо це не так, хоча б для однієї пари , то слова і – незрівнянні.

Приклад 3. Для функцій двох змінних є чотири слова: 00, 01, 10, 11. При цьому

, , , ,

, ,

, ,

.

Незрівнянними є слова 01 і 10.

Булева функція називається монотонною, якщо для будь яких слів і для яких ,

,

, , .

Приклад 4. Дослідити на монотонність функцію

.

Виконання:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Висновок: – функція монотонна.

Приклад 5. Дослідити на монотонність функцію

.

Виконання

Висновок: – функція не монотонна.

Теорема Булева функція відмінна від констант 0 та 1 є монотонна, якщо і тільки якщо вона допускає подання формулою булевої алгебри без заперечень.

Приклад 6. Визначити , чи монотонна функція

.

Виконання.

Одержана формула булевої алгебри не містить заперечень, отже монотонна функція.