12. Принцип двоїстості

13. Двоїстість булевих функцій

Булева функція називається двоїстою до функції , якщо

.

Відношення двоїстості булевих функцій є симетричним

.

Булева функція для якої називається самодвоїстою.

Побудуємо таблицю істинності для функції та враховуючи, що , і т. д.

.

З останньої таблиці можна вивести правило побудови таблиці істинності двоїстої функції.

Щоб побудувати таблицю істинності двоїстої функції, необхідно:

• побудувати таблицю істинності заданої функції;

• кожне її значення інверсувати ;

• одержаний рядок записати у зворотному порядку.

Приклад 1. Відомо, що булева функція на словах 001, 011, 111. Знайти двоїсту функцію .

Виконання. Випишемо таблицю істинності заданої функції, інвертуємо її значення на всіх словах і одержану послідовність запишемо в зворотному порядку

Таблиця істинності для самодвоїстої функції двох змінних має вигляд

.

Як видно з цієї таблиці, кожне значення само двоїстої функції дорівнює значенню симетричного до нього значення (симетричність відносно прямої, яка ділить таблицю істинності навпіл). Отже за таблицею істинності завжди можна визначити, є дана функція самодвоїста, чи ні.

Приклад 2. Функції та задані таблицями відповідності.

.

Визначити, чи самодвоїсті дані функції.

Виконання. З таблиці істинності видно, що кожне значення функції є запереченням симетричного значення:

, ,

, .

Звідси висновок: функція – самодвоїста.

Функція не є самодвоїстою оскільки

, .

Значення самодвоїстої функції повністю визначається її значеннями на половині слів. Всього є слів, половина від них дорівнює . Таким чином кількість самодвоїстих функцій від змінних дорівнює .

Нехай функція задана як суперпозиція функції і функцій , тобто

.

Можна довести, що для функції двоїста функція має вигляд

.

Знайдемо двоїсті функції до заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції, константи 0 та константи 1.

1. ,

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

Отже:

• кон’юнкція двоїста диз’юнкції, і навпаки;

• константа 0 двоїста константі 1, і навпаки;

• заперечення само двоїста функція.

Звідси випливає принцип двоїстості (принцип дуальності). Для того, щоб одержати двоїсту функцію до булевої функції, заданої формулою алгебри логіки, необхідно у формулі замінити диз’юнкції на кон’юнкції, і навпаки, 0 на 1, і навпаки, і застосувати круглі дужки, де необхідно для збереження первинного порядку виконання операцій.

Приклад 2. Побудувати двоїсту функцію до функції

.

Виконання. В формулі виконаємо необхідні заміни:

.

Операція диз’юнкції має виконуватися раніше, ніж перша операція кон’юнкції, тому використовуємо дужки.

.

В підсумку одержуємо двоїсту функцію

.

Практичне заняття 9

Визначити двоїсту функцію функції за її відомим номером та її номер .

Виконання. .

.

Номер двоїстої функції .

Варіанти для самостійної роботи

Варіант
1	147
2	188
3	158
4	173
5	112
6	138
7	150
8	125
9	124
10	149
11	137
12	123
13	175
14	157
15	187
16	136
17	201