Практичне заняття 11.

Дослідити на монотонність функцію

.

Виконання.

Отже,

.

Одержана формула булевої алгебри містить заперечення, і тому дана функція монотонна.

Варіанти для самостійної роботи

Варіант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

16. Класи Поста. Теорема Поста

Класами Поста називають такі п’ять класів (множин) булевих функцій:

- клас функцій, що зберігають 0;

- клас функцій, що зберігають 1;

- клас самодвоїстих функцій;

- клас монотонних функцій;

- клас лінійних функцій;

Булева функція може належати одному або декільком класам Поста, а може і не належати жодному.

Приклад 1. Булева функція належить всім класам Поста.

Дійсно:

– функція зберігає 0;

- функція зберігає 1;

- функція само двоїста

і – функція монотонна;

Функція не містить кон’юнкцій, тому вона лінійна.

Приклад 2. Функція (штрих Шеффера) не належить жодному класу Поста:

Дійсно.

1. Функція має поліном Жигалкіна нелінійний і тому не належить класу лінійних функцій;

Із таблиці істинності функції

випливає що

2. – функція не зберігає 0;

3. – функція не зберігає 1;

4. але – функція не монотонна;

5. але – функція не само двоїста.

Нехай – множина всіх булевих функцій, що залежать від будь-якого числа змінних, і нехай – система булевих функцій.

Замкненням множини називається множина , що складається з булевих функцій, які можна одержати суперпозицією функцій з .Якщо , то множина булевих функцій називається замкненим класом

Система булевих функцій називається функціонально повною, якщо .

Теорема 1. Кожний з класів Поста замкнений.

Теорема 2 (теорема Поста про повноту). Система повна якщо і тільки якщо вона містить хоча б одну функцію, яка не зберігає 0, хоча б одну функцію, яка не зберігає 1, хоча б одну не самодвоїсту функцію, хоча б одну не монотонну функцію і хоча б одну нелінійну функцію.

Оскільки існують булеві функції, які не належать жодному класу Поста, то мінімальна кількість функцій функціонально повної системи булевих функцій дорівнює 1.

Повна система булевих функцій називається нескоротною, якщо з неї не можна виключити жодної функції без утрати властивості повноти. Звідси, як наслідок, випливає, що максимальна кількість функцій нескоротної системи булевих функцій дорівнює чотирьом.

Приклад 3. Визначити за допомогою теореми Поста про повноту, чи є система булевих функцій функціонально повною?

Виконання

Функція не зберігає 0 (), не зберігає 1 ().

Функція не самодвоїста. Це випливає з таблиці істинності

Функція не лінійна. Дійсно:

Функція не монотонна. Дійсно

але .

Всі умови теореми Поста виконані, приходимо до висновку, що система функцій є повною.