1.4 Практичне заняття № 3 Визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів

Показники функціонування транспортних об’єктів залежать не тільки від параметрів вхідного потоку, а й від закону розподілення інтервалів між подіями у потоці. Для визначення закону розподілення випадкової величини не існує формальних методів, тому на практиці користуються евристичними методами. Їх зміст полягає у тому, що на базі статистичного матеріалу, наприклад гістограми, візуально визначається характер розподілення і висувається гіпотеза про можливий закон. Далі ця гіпотеза за допомогою формальних методів перевіряється і робиться відповідний висновок.

Розглянемо цю методику на прикладі визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів за даними, наведеними в п. 1.2 і 1.3. Враховуючи неперервний характер випадкової величини І та форму гістограми (див. рис. 1.2), висуваємо гіпотезу про можливий закон розподілення – Ерланга з параметром К=2.

Щільність ймовірностей для цього закону (диференціальна функція розподілення) виражається формулою:

. (7)

Для окремого, визначеного у п. 1.3 параметра К=2, з (7) отримаємо

. (8)

Графіки та функції інших законів розподілення випадкових величин можна знайти в [1] і [2].

Для наочності та можливості візуального порівняння статистичного та теоретичного розподілень потрібно подати функцію (8) у графічному вигляді. Для цього потрібно для будь-яких значень І розрахувати f(I) і побудувати графік відповідної функції. На практиці достатньо розрахувати f(I) на межах розрядів та в екстремальних точках функції. Розрахунки f(I) належить подати в табличній формі, як наведено для прикладу, що розглядається, у табл. 1.3. Постійні параметри функції (8) становлять

2=20,038=0,076, (2)²=0,076²=0,005776.

Таблиця 1.3

№ п/п	І, хв	IK-1	KI	e-KI	f(I)
1	0	0	0	1	0
2	10	10	0,76	0,468	0,027
3	20	20	1,52	0,219	0,025
4	30	30	2,28	0,102	0,018
5	40	40	3,04	0,048	0,011
6	50	50	3,80	0,022	0,006
7	60	60	4,56	0,010	0,003
8	70	70	5,32	0,005	0,002
9	80	80	6,08	0,002	0,001
10	15	15	1,14	0,320	0,028

За результатами розрахунків на одному графіку з гістограмою (див. рис.1.2) будується диференціальна функція f(I) закону Ерланга.

Слід мати на увазі, що площа фігури, обмежена кривою f(I), як і гістограми, повинна становити одиницю. Якщо візуально видно, що ця площа значно менша або більша площі гістограми, потрібно заново, більш уважно, виконати розрахунки f(I).

Між графіками теоретичного закону f(I) і статистичного розподілення (гістограмою) завжди мають місце деякі розходження, які пов’язані з випадковими відхиленнями або невірним підбором теоретичного закону. Кількісна оцінка розходження теоретичного і статистичного розподілень може бути визначена за допомогою так званих критеріїв згоди, одним з яких є критерій Пірсона ² (хі-квадрат).

Критерій Пірсона розраховується за формулою

, (9)

де	n	–	кiлькiсть спостережень;
	c	–	кiлькiсть розрядiв статистичного ряду;
	Pj	–	теоретична ймовiрнiсть влучання випадкової величини в окремий розряд статистичного ряду;
	Bj	–	статистична ймовiрнiсть (частота) окремого розряду.

За змістом теоретична ймовірність P_j являє собою площу, обмежену кривою f(I) у межах окремого розряду (наприклад Р₂ на рис. 1.2), яка може бути визначена таким чином

, (10)

де	a, b	–	значення лiвої (а) і правої (b) межi розряду;
	F(І)	–	інтегральна функцiя розподiлення випадкової величини відповідного закону.

Функцiя F(I) закону Ерланга виражається формулою:

, (11)

і для відповідних значень К має наступні вирази:

К=1	–	;	(12)
К=2	–	;	(13)
К=3	–	;	(14)
К=4	–	.	(15)

Для прикладу розглянемо розрахунок Р₁ за даними статистичного ряду розподілу інтервалів (див. табл. 1.2) згідно з параметрами =0,038, К=2.

За формулою (13) розраховуємо F(I):

• для лівої межі розряду (І_л = 0 хв)

F(0) = 1 – (2  0,038  0 + 1) e^{–20,0380} = 0;

• для правої межі розряду (І_п = 10 хв)

F(10) = 1 – (2  0,038  10 + 1) e^{–20,03810} = 0,176.

Теоретична ймовірність того, що інтервали між поїздами будуть мати значення від 0 до 10 хв становить Р₁ = Р(0  І < 10) = F(10) – F(0) = 0,176.

Аналогічно виконуються розрахунки для кожного розряду статистичного ряду, які подаються у вигляді табл. 1.4.

Таблиця 1.4

№№ розрядів	І, хв	2I	е–2І	F(I)	Pj
1	0	0	1	0	0,176
	10	0,76	0,468	0,176
2					0,272
	20	1,52	0,219	0,448
3					0,217
	30	2,28	0,102	0,665
4					0,141
	40	3,04	0,048	0,806
5					0,088
	50	3,80	0,022	0,894
6					0,050
	60	4,56	0,010	0,944
7					0,024
	70	5,32	0,005	0,968
8					0,032
		–	–	1

З використанням значень B_j та P_j кожного розряду виконуються розрахунки елементів суми у формулі (9), які подаються у вигляді табл.1.5.

Таблиця 1.5

№№ розрядів	Вj	Pj	Вj – Pj	(Вj – Pj)2
1	0,14	0,176	-0,036	0,001296	0,00736
2	0,32	0,272	0,048	0,002304	0,00847
3	0,20	0,217	-0,017	0,000289	0,00133
4	0,15	0,141	0,009	0,000081	0,00057
5	0,07	0,088	-0,018	0,000324	0,00368
6	0,05	0,050	0,000	0,000000	0,00000
7	0,04	0,024	0,016	0,000256	0,01067
8	0,03	0,032	-0,002	0,000004	0,00013
Всього					0,03221

При загальній кількості спостережень n=100 (п. 1.2) і отриманій величині =0,03221 (див. табл.1.5) згідно з (9) визначається ²=1000,03221=3,221.

Теоретично обґрунтовано, що ² є випадковою величиною з відповідним законом розподілення, для якого розраховані ймовірності Р(²) і наведені в спеціальних таблицях Р=f(²;r) [2] або ²= f(Р;r) [1]. Фрагмент останньої подано в табл. 1.6.

В табл. 1.6 наведені значення з відповідними ймовірностями їх перевищення Р(² _>) у залежності від кількості ступенів свободи r.

Таблиця 1.6

r	2 =f(P)
	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05
2	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,6	5,99
3	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82
4	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49
5	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07
6	1,635	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51

Величини Р являють собою ймовірність того, що відхилення теоретичного і статистичного розподілень є чисто випадковими. При малій ймовірності (на практиці Р<0,1) відхилення не можна вважати випадковими. При Р>0,1 відхилення вважаються несуттєвими і ними можна нехтувати, тобто висунута гіпотеза про відповідний закон розподілення вважається дійсною.

Кількість ступенів свободи визначається як

r = с – S – 1, (16)

де	S	–	кількість зв’язків теоретичного і статистичного розподілень;
	с	–	кiлькість розрядiв статистичного ряду.

Під зв’язками розуміють параметри теоретичного розподілення, числові значення яких приймають зі статистичних даних. Наприклад, в закон Ерланга (7) входять параметри М[І] та D[І], тобто S=2.

Для статистичного ряду, який має с= 8 розрядів (див. табл.1.4), користуючись формулою (16), знаходимо r = 8 – 2 – 1 = 5.

По табл. 1.6 для Р=0,1 та r=5 маємо .

Таким чином, розрахункове значення ² =3,221 менше від (3,221<9,24) і гіпотеза про розподіл випадкової величини інтервалів прибуття за законом Ерланга з параметром К=2 не суперечить дослідним даним.