1.3 Практичне заняття № 2 Розрахунок параметрiв розподілення інтервалів прибуття поїздів

Сукупність отриманих значень випадкової величини інтервалу прибуття (див. табл.1.1) називають простою статистичною сукупністю (варіаційним рядом). При значній кількості спостережень вона є мало зручною формою подання статистичного матеріалу з точки зору наочності та обрахунку. Для надання матеріалу більшої компактності та наочності його потрібно додатково обробити - побудувати статистичний ряд.

З варіаційного ряду визначається найбільший (I_max=79 хв) інтервал. Взагалі інтервали прибуття поїздів з окремого підходу не можуть бути меншими можливого мінімального інтервалу слідування поїздів, обумовленого пристроями СЦБ (наприклад, I_min=8 хв при автоматичному блокуванні). У випадку примикання до станції (парку) двох і більше підходів, мінімальний інтервал може дорівнювати нулю, тобто для умов задачі приймається I_min=0.

Статистичний ряд випадкової величини утворюється шляхом групування спостережень у групи (розряди). Інтервал групування (ширина розряду) приймається однаковим для усіх розрядів і визначається як

, (1)

де

n

–

кількість спостережень випадкової величини.

Знаменник (1) являє собою кількість розрядів статистичного ряду.

Наприклад, для умов задачі маємо:

хв.

Отриманий результат може бути округлений до цілого в будь-який бік, тобто приймається І = 10 хв.

Статистичний ряд подається у вигляді табл. 1.2. Для кожного розряду розраховується значення лівої (І_л) та правої (І_п) межі. Ліва межа першого розряду приймається І_л(1) = І_min, а права та ліва межа наступних розрядів визначається як

І_л(j+1) = І_п(j) = І_л(j) + І.

Таблиця 1.2

№№ розрядів	Іл(j)  Іп(j)	хв	Kj		Bj			hj
1	0-10	5		14	0,14	0,70	3,50	0,014
2	10-20	15		32	0,32	4,80	72,00	0,032
3	20-30	25		20	0,20	5,00	125,00	0,020
4	30-40	35		15	0,15	5,25	183,75	0,015
5	40-50	45		7	0,07	3,15	141,75	0,007
6	50-60	55		5	0,05	2,75	151,25	0,005
7	60-70	65		4	0,04	2,60	169,00	0,004
8	70 та >	75		3	0,03	2,25	168,75	0,003
Всього				100	1,00	26,5	1015,0

Наприклад (див. табл.1.2), для відповідних розрядів маємо:

І_л(1) = 0 хв; І_п(1) = 0 + 10 = 10 хв;

І_л(2) = 10 хв; І_п(2) = 10 + 10 = 20 хв.

Для останнього розряду права межа не визначається, тобто до цього розряду належать усі випадкові величини, які мають І  70 хв.

Для кожного розряду визначається середнє значення випадкової величини (див. табл.1.2):

При цьому середні значення окремих розрядів в умовах сталої величини І мають залежність , за якою визначається величина останнього розряду.

Статистичний ряд отримують шляхом визначення кількості спостережень випадкової величини у кожному розряді. До окремого розряду належать спостереження, які мають величину від І_л включно до І_п виключно. Номер розряду (j), якому належить окреме спостереження випадкової величини (І) визначається згідно з умовою

І_л(j)  I < І_п(j)

Наприклад, значення І₁=23 хв (див. табл.1.2) належить до третього розряду, а І₅₂=30 хв – до четвертого розряду. Згідно з цим у графі “Кількість спостережень" (див. табл. 1.2) відповідного розряду ставиться риска. Аналогічно відносяться до розрядів статистичного ряду усі випадкові величини варіаційного ряду і підраховується кількість спостережень К_j у кожному розряді.

Сумарна кількість спостережень повинна дорівнювати кількості елементів варіаційного ряду, тобто К_j = n. У противному разі потрібно скласти статистичний ряд заново.

З використанням кількості спостережень у кожному розряді (К_j) визначається статистична імовірність або частота влучання випадкової величини у відповідний розряд

.

Отримані значення B_j наводяться у відповідній графі табл. 1.2 і повинні відповідати умові .

За змістом окрема величина B_j являє собою частку випадків або статистичну ймовірність того, що випадкова величина матиме значення у межах .

З використанням B_j для кожного розряду розраховуються величини та , які наводяться у відповідних графах табл. 1.2 і визначаються їх суми та .

Для наочності статистичний ряд подається у графічному вигляді, для чого попередньо розраховуються ординати гістограми, тобто статистичні щільності ймовірностей відповідних розрядів:

.

Отримані величини h_j наводяться у відповідній графі табл. 1.2.

На графіку (див. рис.1.2) по осі І відкладаються межі розрядів І_л та І_п, а по осі h – відповідні значення h_j кожного розряду. Отриманий в графічному вигляді багатокутник є гістограмою розподілення випадкової величини І.

За змістом площа окремого прямокутника гістограми являє собою статистичну ймовірність (B_j) влучання випадкової величини у відповідний розряд, а їх загальна площа дорівнює одиниці.

Рис. 1.2. Гістограма та диференціальна функція розподілу.

За даними табл. 1.2 визначаються параметри розподілення інтервалів прибуття поїздів.

Середнє статистичне значення інтервалу прибуття поїздів (оцінка математичного очікування) розраховується як

,хв (2)

де

c

–

кількість розрядів статистичного ряду.

Величина М[І] за змістом являє собою абсцису центра ваги гістограми (див. рис. 1.2), відносно якої розсіяні значення випадкової величини.

Для умов прикладу (див. табл. 1.2) М[І] =26,5хв. Отриманий результат М[І] слід порівняти з визначеним у п. 1.2 середнім інтервалом (хв). Різниця між ними не повинна перевищувати 1 хв. У противному разі слід перевірити розрахунки М[І]. При цьому виконавець повинен розуміти і вміти пояснити причини відмінності величин і М[І].

Інтенсивність вхідного потоку, тобто середня кiлькiсть поїздiв, що прибувають за одиницю часу

.

Для умов прикладу маємо поїздів/хв.

Середнє статистичне значення квадрата інтервалу прибуття

. (3)

У прикладі (див. табл. 1.2) хв².

Статистична дисперсія інтервалу прибуття

. (4)

Дисперсія характеризує коливання випадкової величини відносно її середнього статистичного значення і являє собою середню величину квадрата відхилення випадкових значень від М[І].

Для прикладу D[І]=1015 – 26,5²=312,75 хв².

Середньоквадратичне відхилення інтервалів прибуття .

У прикладі хв.

Коефіцієнт варіації інтервалів прибуття – вiдносна мiра розсiву випадкової величини

. (5)

Для умов прикладу .

Параметр Ерланга

. (6)

Параметр Ерланга може приймати тільки цілі значення, тому результат розрахунку округлюється до цілого числа.

Для даного прикладу:

. Остаточно приймається К=2.

Додаткову інформацію з питань побудови статистичного ряду і визначення числових характеристик випадкових величин можна отримати з [1], [2].