Часть 2. Аналитическая геометрия в пространстве Глава 6. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

719

Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам: A(3; 4; 6), B(-5; 3; 1), C(1; -3; -5), D(0; -3; 5), E(-3; -5; 0), F(-1; -5; -3).

720

Найти координаты проекций точек A(4; 3;5 ), B(-3; 2; 1), C(2; –3; 0), D(0; 0; -3): 1). На плоскость Oxy; 2). На плоскость Oxz, 3). На плоскость Oyz, 4). На ось абсцисс, 5). На ось ординат; 6). На ось апликат.

721

Найти координаты точек, симметричных точкам A(2; 3; 1), B(5; -3; 2), C(-3; 2; 1), D(a; b; c) относительно: 1). Плоскости Oxy, 2). Плоскости Oxz, 3). Плоскости Oyz, 4). Оси абсцисс, 5). Оси ординат, 6). Оси апликат, 7). Начала координат.

722

Даны четыре вершины куба A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Определить его остальные вершины.

723

В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). ; 6). .

724

В каких октантах могут быть расположены точки, если: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). .

725

Найти центр шара радиуса R=3, который касается всех трех координатных плоскостей и расположен: 1). Во втором октанте, 2). В пятом октанте, 3). В шестом октанте, 4). В седьмом октанте, 5). В восьмом октанте.

726

Даны точки A(1; -2; -3), B(2; -3; 0), C(3; 1; -9), D(-1; 1; -12). Вычислить расстояние между 1). А и С, 2). B и D, 3). C и D.

727

Вычислить расстояния от начала координат О до точек A(4; -2; -4), B(-4; 12; 6), C(12; -4; 3), D(12; 16; -15).

728

Доказать, что треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -2; 2), C(-3; 2; 1) равнобедренный.

729

Доказать, что треугольник с вершинами A₁(3; -1; 6), A₂(-1; 7; -2), A₃(1; -3; 2) прямоугольный.

730

Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника с вершинами M₁(4; -1; 4), M₂(0; 7; -4), M₃(3; 1; -2).

731

Доказать, что внутренние углы треугольника M(3; -2; 5), N(-2; 1; -3), P(5; 1; -1) острые.

732

На ось абсцисс найти точку, расстояние от которой до точки А(-3; 4; 8) равно 12.

733

На оси ординат найти точку, равноудаленную отточек А(1; -3; 7) и В(5; 7; -5).

734

Найти центр C и радиус R шаровой поверхности, которая проходит через точку P(4; -1; -1) и касается всех трех координатных плоскостей.

735

Даны вершины M₁(3; 2; -5), M₂(1; -4; 3), M₃(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.

736

Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

737

Центр масс однородного стержня находится в точке С(1; -1; 5), один из его концов есть точка A(-2; -1; 7). Определить координаты другого конца стержня.

738

Даны две вершины A(2; -3; -5), B(-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей E(4; -1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

739

Даны три вершины A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную B.

740

Даны три вершины A(3; -1; 2), B(1; 2; -4), C(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.

741

Отрезок прямой, ограниченный точками A(-1; 8; 3), B(9; -7; -2), разделен точками C, D, E. F на пять равных частей. Найти координаты этих точек.

742

Определить координаты концов отрезка, который точками C(2; 0; 2), D(5; -2; 0) разделен на три равные части

743

Даны вершины треугольника A(1; 1; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

744

Даны вершины треугольника A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

745

В вершинах тетраэдра A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄) сосредоточены равные массы. Найти координаты центра масс этой системы.

746

В вершинах тетраэдра A₁(x₁, y₁, z₁), A₂(x_, y₂, z₂), A₃(x₃, y₃, z₃), A₄(x₄, y₄, z₄) сосредоточены массы m₁, m₂, m₃, m₄. Найти координаты центра масс этой системы.

747

Прямая проходит через две точки M₁(-1; 6; 6) и M₂(3; -6; -2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями.