Глава 16. Полярное уравнение прямой

380

Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса p и полярный угол нормали .

Задача 0380

РЕШЕНИЕ. 1-Й СПОСОБ. На данной прямой s (рис.) возьмем произвольную точку М с полярными координатами и . Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим:

(1)

Мы получили уравнение с двумя переменными и , которму удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой. Таким образом, задача решена.

2-Й СПОСОБ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s:

(2)

Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

, (3)

Подставив в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим

или

.

381

Вывести полярное уравнение прямой, если даны:

381.1

Угол наклона прямой к полярной оси и длину перпендикуляра p,опущенного из полюса на эту пряму; написать уравнение этой прямой в случае , p=3;

381.2

Отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, осчитая от полюса, и полярный угол нормали этой прямой; написать уравнение этой прямой в случае а=2; ;

381.3

Угол наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отекает прямая на полярной оси, считая от полюса; написать уравнение этой прямой в случае , а=6.

382

Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁(; ) и наклоненной к полярной оси под углом .

383

Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁(; ), полярный угол нормали которой равен .

384

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M₁(; ) и M₂(; ).

385

Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

385.1

центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;

385.2

центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;

385.3

окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);

385.4

окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

385.5

точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

385.6

центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;

385.7

центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является касательной к окружности;

385.8

окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой ;

385.9

окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);

385.10

окружность проходит через три точки: М₁(-1; 5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5).

386

Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

387

Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М₁(3; 1).

388

Составить уравнение окружности, касающейся прямых , , причем одна из них – в точке А(2; 1).

389

Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых , .

390

Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой , касается прямых , .

391

Составить уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем одной из них – в точке М₁(1; 2).

392

Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых , .

393

Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой , касаются прямых , .

394

Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых , .

395

Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

396

Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

397

Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:

397.1

 ;

397.2

 ;

397.3

;

397.4

;

397.5

;

397.6

;

397.7

;

397.8

;

397.9

;

397.10

 .

398

Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

398.1

;

398.2

;

398.3

;

398.4

;

398.5

;

398.6

;

398.7

;

398.8

;

398.9

 ;

398.10

.

399

Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

399.1

;

399.2

;

399.3

;

399.4

;

399.5

.

400

Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:

400.1

и ;

400.2

и ;

400.3

и ;

400.4

и .

401

Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .

402

Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев:

402.1

А(6; -8), ;

402.2

В(3; 9), ;

402.3

С(-7; 2), .

403

Определить координаты точек пересечения прямой и окружности .

404

Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

404.1

 , ;

404.2

 , ;

404.3

, .

405

Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :

405.1

пересекает окружность ;

405.2

касается этой окружности;

405.3

проходит вне этой окружности.

406

Вывести условие, при котором прямая касается окружности .

407

Составить уравнние диаметра окружности , проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой .

408

Составить уравнение хорды окружности , делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.

409

Определить длину хорды окружности , делящейся в точке А(1; 2) пополам.

410

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, на которых окружность отсекает хорды длиною .

411

Даны окружности , , пересекающиеся в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М₁, М₂, а также прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением вида при надлежащем выборе числе и .

412

Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей , .

413

Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей , .

414

Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

415

Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

416

Определить длину общей хорды окружностей , .

417

Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения окружностей , .

418

Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-1; 2).

419

Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-5; 7).

420

На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.

421

Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.

422

Точка М₁(x₁, y₁) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М₁.

423

Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).

424

Определить, при каким углом пересекаются окружности , (углом между окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).

425

Вывести условие, при котором окружности, пересекаются под прямым углом.

426

Доказать, что окружности , пересекаются под прямым углом.

427

Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности . Составить их уравнения.

428

Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности . Составить их уравнения.

429

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности .

430

Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности . Определить угол, образованный этими касательными.

431

Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности . Составить уравнение хорды, соединяющий точки касания.

432

Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.

433

Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.

434

Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности . Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.

435

Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности .

436

Составить уравнение касательных к окружности , параллельных прямой .

437

Составить уравнения касательных к окружности , перпендикулярных к прямой .

438

Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R, ).

439

Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:

439.1

C(R, 0);

439.2

C(R, );

439.3

C(R, );

439.4

C(R, ).

440

Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

440.1

 ;

440.2

;

440.3

;

440.4

 ;

440.5

;

440.6

;

440.7

 ).

441

Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

441.1

 ;

441.2

;

441.3

.

442

Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1

;

442.2

;

442.3

;

442.4

;

442.5

.

443

Составить полярное уравнение касательной к окружности в точке М₁(R, ).