2.1 Взаємне положення площин. Перша позиційна задача

Дві площини у просторі можуть перетинатися або бути паралельні.

Ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то площини паралельні між собою (рис.2.1).

Символьний запис:

(a || m; b || n) → α (a ∩ b) || β(m ∩ n)

Рисунок 2.1 – Приклад паралельних площин

Перша позиційна задача – задача пошуку лінії перетину двох площин. Основні випадки:

• обидві площини займають окреме положення;

• одна з площин займає окреме положення, а друга – загальне положення;

• обидві площини займають загальне положення.

В першому випадку побудова проста, оскільки проекції лінії перетину або збігаються із слідами площин або паралельні їм.

В другому випадку, якщо одна з площин займає окреме положення, то одна з проекцій лінії перетину збігається зі слідом цієї площини, а інша проекція лінії перетину визначається за умови належності до площини загального положення (рис.2.2, 2.3).

а) б)

Рисунок 2.2 – Приклад перетину горизонтальної площини α з площиною β, що задана трикутником

а) б)

Рисунок 2.3 – Приклад перетину горизонтальною площиною площини загального положення, що задана слідами

В третьому випадку для пошуку проекцій лінії перетину необхідно застосувати такий алгоритм (рис.2.4, 2.5).

Алгоритм розв’язування першої позиційної задачі:

1. Вводимо допоміжну площину окремого положення (α(α₂)).

2. Знаходимо лінію перетину введеної допоміжної площини з кожною із заданих площин (α ∩ β → ℓ ; α ∩ γ → m).

3. Знаходимо точку перетину ліній, що отримані в п.2 (ℓ ∩ m → К(К₁).

4. Визначаємо іншу проекцію знайденої точки К(К₂).

5. Повторюємо пп. 1-4 для другої допоміжної площини (σ(σ₂)).

6. З’єднуємо отримані точки (КN (К₁N₁, К₂N₂).

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 4 алгоритму)

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 6 алгоритму)

2.2 Взаємне положення прямої і площини. Друга позиційна задача.

Пряма у просторі може належити до площини, бути її параллельною або перетинати. Належність прямої до площини розглянуто в п.1.3.

Умова паралельності прямої та площини: якщо пряма параллельна будь-якій прямій площини, то вона параллельна всій площині (рис.2.6). Символьний запис: m║a → m║α(a∩b).

а) б)

Рисунок 2.6 – Приклад паралельності прямої площині

Побудова проекцій точки перетину прямої та площини – друга позиційна задача. Для її розв’язування використовують такий алгоритм (рис. 2.7, 2.8).

1. Вводимо таку допоміжну площину, щоб вона займала проекціювальне положення і проходила через задану пряму (ℓ β).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини із заданною площиною (β ∩ α → a).

3. Визначаємо точку перетину отриманої лінії та однієї з проекцій заданої прямої (ℓ ∩ a → K).

4. Знаходимо іншу проекцію точки (K).

5. Визначаємо видимість прямої.

Рисунок 2.7 – Перетин прямої та площини (наочне зображення)

Рисунок 2.8 – Перетин прямої та площини (проекційне креслення)

Задачі для самостійного розв’язування

Задача № 24

Побудувати проекції лінії взаємного перетину площин.

а) б)

в) г)

д) е)

Задача № 25

Побудувати площини паралельні заданим площинам.

а) б) в)

г) д) е)

Задача №26

Визначити графічно чи паралельні між собою пари площин.

а) б)

Задача № 27

Побудувати пряму паралельну заданій площині.

а) б) в)

Задача № 28

Визначити графічно чи паралельна задана пряма ℓ площині.

а) б)

Задача № 29

Побудувати проекції точки перетину прямої та площини.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) і)