6.7.2. Критерии существования lu-разложения. Трудоемкость и сложность его алгоритма

Из общего вида расчетных формул (6.18.k.1)-(6.18.k.2) следует, что общим критерием, задающим необходимые и достаточные условия существования LU-разложения матрицы, является следующая совокупность неравенств:

u₁₁  0, u₂₂  0, u_33(n-1)  0,…, u_(n-1)(n-1)  0. (6.19)

Равенство u_nn = 0 может выполняться, поскольку на последнем шаге k=n не производится деления на диагональный элемент u_nn при расчете элементов матрицы L. Поэтому общий критерий выполняется и при det(A) 0 и при det(A) =0.

Отсутствие LU-разложения у исходной матрицы А не эквивалентно существованию единственного решения системы уравнений с матрицей А. Пример 1. Для матрицы порядка 2

единственное решение системы уравнений всегда (при любом свободном векторе B) существует, поскольку det(A) = -2 0. Но LU-разложения у матрицы А нет, поскольку у нее u₁₁ = а₁₁ = 0.

Общий критерий существования LU-разложения матрицы (6.19) не удобен для применения, так как требует почти полного расчета алгоритма (6.18.k.1)-(6.18.k.2). Поскольку наибольший интерес представляют случаи расчета LU-разложения матриц, когда соответствующие им системы имеют единственное решение (т.е. матрицы невырождены), то в этом случае критерий имеет более простой вид.

Теорема 6.1. (Критерий существования LU-разложение невырожденной матрицы). LU-разложение невырожденной матрицы А существует тогда и только тогда, когда:

а₁₁  0. (6.20)

Доказательство. Так как 1) определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей и 2) определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то:

det(A) = det(L)  det(U) =1  det(U) = u₁₁  u₂₂  u₃₃ … u_nn . (6.21)

Необходимость. Если LU-разложение невырожденной матрицы А существует, то из (6.21) следует, что: u₁₁u₂₂u₃₃…u_nn=det(A)  0, откуда вытекает справедливость общего критерия (6.19). Так как u₁₁ = а₁₁, то отсюда следует: а₁₁ 0.

Достаточность. Допустим, det(A)  0 и а₁₁ 0, но LU-разложение матрицы А не существует. Тогда по общему критерию (6.19) с учетом u₁₁ = а₁₁ 0 следует, что нарушено неравенство нулю какого-либо из элементов в средней части главной диагонали матрицы U, т.е. существует u_kk=0 при 2k(n-1). Но в этом случае из (6.21) следует, что det(U) = u₁₁  u₂₂  u₃₃ … u_nn = det(A) = 0. Это противоречит условию невырожденности матрицы А. Полученное противоречие доказывает достаточность.

Пример 2. Выполнить LU-разложение квадратной матрицы А порядка n = 4:

.

Решение. У матрицы а₁₁ 0. Вычисления производим по формулам (6.18.k.1)- (6.18.k.2) с проверкой значений u_kk  0 при k = 1,...,n-1 = 3.

Шаг k = 1. u₁₁ = а₁₁ = 3  0, поэтому расчет продолжаем:

u₁₂ = а₁₂ = 4; u₁₃ = а₁₃ = -9; u₁₄ = а₁₄ = 5;

l₁₁ =1; l₂₁ = а₂₁/ u₁₁= -15/3 = -5; l₃₁ = а₃₁/ u₁₁= -27/3 = -9; l₄₁ = а₄₁/ u₁₁= 9/3 = 3.

Шаг k = 2. u₂₁=0; u₂₂ = а₂₂ - l₂₁ u₁₂ = -12 - (-5)4 = 8  0, расчет продолжаем:

u₂₃ = а₂₃ - l₂₁ u₁₃ = 50 - (-5)(-9) = 5 ;

u₂₄ = а₂₄ - l₂₁ u₁₄ = -16 - (-5)5 = 9 ;

l₁₂=0; l₂₂=1; l₃₂ = (а₃₂ - l₃₁ u₁₂)/(u₂₂) = (-36 - (-9)4)/8 = 0;

l₄₂ = (а₄₂ - l₄₁ u₁₂)/(u₂₂) = (12 - 34)/8 = 0.

Шаг k = 3. u₃₁=u₃₂=0; u₃₃ = а₃₃ -(l₃₁ u₁₃ + l₃₂ u₂₃) = 73 - ((-9)(-9)+0) = -8  0, расчет продолжаем: u₃₄ = а₃₄ - (l₃₁ u₁₄ + l₃₂ u₂₄) = 8 - ((-9)5+0)= 53;

l₁₃=0; l₂₃=0; l₃₃=1; l₄₃ = (а₄₃ - (l₄₁ u₁₃+ l₄₂ u₂₃))/u₃₃ = ((-10) - (3(-9)+0))/(-8)= -17/8.

Шаг k = 4. u₄₁=u₄₂=u₄₃=0;

u₄₄ = а₄₄ -(l₄₁ u₁₄ + l₄₂ u₂₄+ l₄₃ u₃₄) = (-16) - (35+0+(-17/8)53) = -31+901/8=653/8.

l₁₄=0; l₂₄=0; l₃₄=0; l₄₄=1.

В итоге получим матрицы:

Трудоемкость и сложность алгоритма LU-разложения. Суммируя числа арифметических операций для расчета элементов матриц U и L, получим на каждом шаге k следующие их значения, используя вспомогательную величину k₁ = (k-1):

- сравнений: с_k(n) = 1;

- сложений и вычитаний: s_k(n) = (k-1) (n - k+1) +(k-1) (n - k) = k₁(2n -1) - 2k₁²;

- умножений: m_k(n) = s_k(n);

- делений: d_k(n) = (n - k).

Трудоемкость всего алгоритма LU-разложения получим, суммируя числа операций для всех шагов k от 1 до n:

- сравнения: с_LU(n) = n;

- сложения и вычитания: s_LU(n) = (2n -1) [0+1+…+( n-1)] - 2[0²+1²+…+( n-1) ²] =

= n (n-1)(2n-1)/6  n³/3.

- умножения: m_LU (n) = s_LU (n) = n (n-1)(2n-1)/6  n³/3;

- деления: d_LU (n) = [( n-1) +( n-1) +…1+0] = n(n-1)/2 n²/2.

По сравнению с алгоритмом прямого хода:

- число сравнений уменьшено на n(n-1)/2  n²/2;

- числа сложений (вычитаний), а также умножений уменьшены на:

n (n²-1)/3 - n (n-1)(2n-1)/6 = n (n-1)/6  n²/6;

- число делений осталось прежним.

Основную часть алгоритма составляют операции сложения (вычитания) и умножения, число которых расчет, как и у алгоритма прямого как n³/3. Сложность алгоритма LU-разложения равна О(n³).