[Править] Примеры [править] Матрица 2х2

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

Рассмотрим квадратную матрицу

 .

Обозначим  =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если  = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^1, так что В = А^1. Обратная матрица вычисляется по формуле

,                                               (4.5)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10. Для матрицы  найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А    значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:  , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.                  

                   

                  

                 

 откуда   .

Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,         .

Вводные замечания. Одним из способов решения систем линейных алгебраических уравнений является правило Крамера, согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей:

,

где – определитель матрицы, получающейся из матрицы А заменой i-го столбца столбцом правых частей системы (3.1). Определители при этом предлагается вычислять по формулам, рассматриваемым в курсах линейной алгебры, например

. (3.8)

Здесь индексы , , …,  пробегают все возможные перестановок номеров ; k – число инверсий в данной перестановке.

Однако в качестве конкретного метода решения системы (3.1) данные формулы совершенно неприменимы, так как при подсчете каждого определителя по приведенной выше формуле надо вычислить слагаемых, что нереально при весьма умеренных значениях n. Например, уже при имеем .

Очевидно, что сложность системы (3.1) определяется структурой ее матрицы А. Существуют два случая, когда система имеет простые решения. Если А – диагональная матрица

,

то система (3.1) распадается на n независимый уравнений, каждое их которых содержит одну неизвестную величину, и проблем с вычислениями не возникает.

Просто решается задача и в случае, когда матрица А является треугольной

.

В этом случае из последнего уравнения следует

,

и далее

,

для .

Оценим объем вычислений, связанный с решением системы с треугольной матрицей. Для того, чтобы вычислить требуется одна операция, для вычисления – три, – пять и т.д. Как можно подсчитать, общее число операций при этом равно .

Большинство прямых методов решения системы (3.1), используемых на практике, основаны на приведении исходной матрицы к треугольному виду с последующим нахождением неизвестных по рассмотренным выше формулам. Одним из таких методов является метод исключения Гаусса. Другие методы созданы специально для систем, обладающих матрицей определенного вида, например трехдиагональной матрицей. К таким методом относится метод прогонки. Ниже подробно рассматриваются оба этих метода.

Метод Гаусса. Метод исключения Гаусса содержит два этапа: прямой ход – приведение исходной матрицы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы и обратный ход – решение системы с треугольной матрицей. Рассмотрим одну из возможных реализаций прямого хода.

Пусть . Тогда этот элемент называется ведущим или главным. Введем обозначение , .

Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнения системы (3.1) первое уравнение, умноженное соответственно на , , …, . Это позволит обратить в нуль коэффициенты при во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему в виде

(3.9)

где , ; .

Теперь исключим неизвестное из уравнений, начиная с третьего. Пусть – новый ведущий элемент; положим снова , и вычтем из третьего, четвертого, …, n-го уравнения второе уравнение, умноженное соответственно на , , …, . В результате получим

(3.10)

где , ; .

Проделывая описанные действия раз получим систему уравнений с треугольной матрицей

(3.11)

На этом завершается прямой ход метода Гаусса. Общее количество арифметических операций, которые необходимо совершить для приведения системы к треугольному виду описанным методом, оценивается величиной . Это вполне приемлемая величина (при n  и быстродействии ЭВМ порядка операций в секунду требуемое для расчета время порядка одного часа).

 Замечание. В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты , и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля. В противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на компьютере.

Обратный ход начинается с решения последнего уравнения системы (3.11):

,

затем из предпоследнего уравнения находится :

,

аналогично определяются и все остальные неизвестные.

Ниже приведено описание вычислительного алгоритма метода Гаусса.

1. Ввод n, ,

2. Для i от 1 до :

   1. Если , тогда Перестановка уравнений

   2. Для k от до n :

      1. 

      2. Для j от до n :

      3. 

3. Для i от n до 1 с шагом –1 :

   1. 

   2. Для j от до n :

   3. 

4. Вывод

В приведенном алгоритме первый цикл с параметром i реализует прямой ход, а второй – обратный ход метода Гаусса.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов , на которые происходит деление, заменяется более жестким: из всех оставшихся в i-м столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента . Это так называемый выбор главного элемента по столбцу. Существуют также схемы с выбором главного элемента по строке и по всей матрице.

Алгоритм выбора наибольшего элемента по столбцу достаточно прост и состоит из двух этапов: отыскание номера наибольшего элемента и перестановки элементов двух строк. Описание алгоритма приведено ниже.

1. 

2. Для m от до n :

   1. Если , тогда

3. Если , тогда

   1. Для j от i до n :

   2. 

Здесь k – номер наибольшего по абсолютной величине элемента матрицы в столбце с номером i. Этот алгоритм встраивается в приведенный выше алгоритм метода Гаусса вместо условной конструкции, выполняющей перестановку уравнений в случае равенства нулю элемента (шаг 2.1.).

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, а также снижается вероятность деления на малые числа, что в итоге способствует уменьшению вычислительных погрешностей.