31

Глава 4. Численные методы алгебры. Решение систем лИнейных уравнений

Линейные зависимости являются наиболее употребительными в математическом моделировании для построения как точных, так и приближенных зависимостей параметров моделей (ими являются неизвестные уравнений), поскольку они являются простейшим видом зависимости, для которого достаточно полно разработана теория и практические методы решения.

Методы решения систем линейных уравнений являются одной из основных частей численных методов алгебры - отдельного раздела вычислительной математики, посвященный численном методам решения задач линейной алгебры. Второй основной задачей является определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Ряд других задач (обращение матриц, вычисление определителей, нахождение корней алгебраических многочленов) обычно носят вспомогательный характер при решении основных задач линейной алгебры.

4.1. Линейные уравнения. Теоретическое и практическое решения линейных уравнений с одним неизвестным

Линейными относительно неизвестных х₁, х₂,... х_n, называют степенное уравнения, содержащие неизвестные только в первое степени. Коэффициенты при неизвестных называют линейными, все остальные коэффициенты - свободными.

Пример 1 линейных уравнений:

1) ах + by = c; - линейное уравнение относительно неизвестных х,y, в котором а и b - линейные коэффициенты, c - свободный коэффициент;

2) 1,2х₁ + 4 + 5,08х₂ - 13,17х₃ - 4,38х₁ + 31,75х₂ + 1,3 = 3,8х₃ - 14,61; - линейное уравнение относительно неизвестных х₁,х₂,х₃, вещественными линейными и свободными коэффициентами.

Каноническим называют такой вид линейных уравнений, при котором все слагаемые, содержащие неизвестные (х₁, х₂,... х_n), находятся в левой части и выполнено приведение коэффициентов при неизвестных (а₁, а₂,... а_n), а приведенный свободный коэффициент (b) стоит в правой части уравнения:

а₁х₁+ а₂х₂+...+ а_nх_n = b. (4.1)

В примере 1 в каноническом виде представлено уравнение 1), уравнение 2) - нет.

Линейными уравнениями с одним неизвестным в каноническом виде называют зависимости типа

а  х = b, (4.2)

где х- неизвестное, a, b - постоянные коэффициенты.

Теоретическим достаточным условием существования и единственности решения линейного уравнения (4.2) с одним неизвестным является условие

a  0. (4.3)

При его выполнении теоретическое решение (4.2) всегда существует, единственно и равно:

х = b / а. (4.4)

Теоретическое достаточное условие (4.3) выводится для идеального представления числовых коэффициентов уравнения и не учитывает реальный характер вычислений - как при ручном, так и при машинном расчетах. На практике из-за наличия погрешностей при задании исходных данных, а также погрешностей расчета практическое достаточное условие существования и единственности решения линейного уравнения (4.2) формулируют в виде:

 a   , (4.5)

где  > 0 - заранее задаваемое положительное число, задающее граничную величину предельной абсолютной погрешности коэффициента линейного коэффициента a, при которой он уже не считается равным или близким к нулю. Если условие (4.5) выполнено, то решение совпадает с (4.4).

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид уравнений называют линейным ?

2. Какую форму имеют линейные уравнения канонического вида ?

3. В какой форме формулируются теоретическое и практическое условия существования решения линейного уравнения с одним неизвестным и чем вызвано их различие ?

Практические задания.

1.Привести к каноническому виду линейные уравнения:

a) х + y - 1 + 2x - 2y +3 = y + z + 10;

б) 0,2х₁ +2,8х₂ + 5,1х₃ - 2,2 + 8,1х₃ + 1,8х₁ + 9,0 = 8,1х₁ - 7,5х₃ + 6,5;

в) уравнение 2) примера 1.