5.10. Парабола. Канонічне рівняння.
Параболою називається множина точок, відстань яких від фокуса дорівнює відстані від директриси (рис.5.9).
Знайдемо
канонічне
рівняння параболи на основі її геометричної
властивості
,
або
.
Після спрощення отримаємо
.
Рівняння параболи також може мати вигляд:
.
Така
парабола має фокус
,
директрису
.
Рис.5.9
Приклад.
Скласти рівняння параболи, вершина якої
лежить у початку координат, коли: а)
парабола симетрична відносно осі Оx
і має фокус в точці
;
б) парабола симетрична відносно осі Oy
і має директрису
.
Розв’язання.
а)
.
Фокус параболи:
.
Тобто,
,
.
Маємо:
.
б)
.
Директриса параболи:
.
Якщо,
,
то
,
.
Маємо:
.
Якщо лінія другого порядку задана в загальному вигляді, паралельний переніс системи координат дозволить визначити тип лінії.
Нехай
маємо систему координат
xOy
з початком в точці О(0;0).
Перенесемо
паралельно вісі координат і отримаємо
нову систему координат
з початком в точці
.
Тоді можна записати координати точки
в новій системі
.
Приклад. Визначити тип лінії:
а)
;
б)
.
Розв’язання:
а)
;
;
.
Робимо паралельний переніс системи координат:
; 
;
– еліпс.
б)
.
.
.
, 
, 
.
– гіпербола.
Якщо
центр лінії другого порядку знаходиться
в точці
,
то рівняння кривих будуть:
коло: 
;
еліпс: 
;
гіпербола: 
;
парабола: 
Запитання для самодіагностики
1. Що таке рівняння лінії?
2. Який вигляд має загальне рівняння прямої?
3. Як записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?
4. Який вигляд має рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі?
5. Як записати рівняння прямої, що проходить через дві задані точки?
6. Який вигляд має рівняння прямої у відрізках на осях?
5. Записати векторне рівняння прямої.
8. Записати канонічне рівняння прямої.
9. Який вигляд мають параметричні рівняння прямої?
10. Як записати нормальне рівняння прямої?
11. Як знайти відстань від точки до прямої?
12. За якою формулою обчислюється кут між двома прямими?
13. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.
14. Як обчислюється кутовий коефіцієнт прямої із його загального рівняння?
15.Що називається колом?
16.Який вигляд має канонічне рівняння кола?
15.Що називається еліпсом?
18. Який вигляд має канонічне рівняння еліпса?
19.
Як пов’язані між собою
,
,
для еліпса?
20.Що називається ексцентриситетом еліпса?
21.Де знаходяться фокуси?
22.Що називається гіперболою?
23.Який вигляд має канонічне рівняння гіперболи?
24.
Як пов’язані між собою
,
,
для гіперболи?
25.Що називається ексцентриситетом гіперболи?
26.Де знаходяться фокуси?
25.Яку гіперболу називають рівнобічною?
28.Записати рівняння асимптот гіперболи.
29.Що називається параболою?
30.Який вигляд має канонічне рівняння параболи?