4.3. Алгоритм операторного методу розрахунку перехідних процесів

4.3.1. Розрахунок вимушеного режиму до перехідного процесу, включаючи останній момент перед комутацією (рис._).

Струм у вітці з індуктивністю , напруга на ємності, підключеній паралельно до джерела напруги U_С(-0)=40 В. Ненульові початкові умови віток з реактивними елементами на операторній схемі відображаються внутрішніми операторними ЕРС цих елементів.

4.3.2. Складання операторної схеми заміщення кола після перехідного процесу. На схемі вказують операторні опори всіх елементів, операторні зображення ЕРС джерел, внутрішні операторні ЕРС індуктивностей Li(-0) та ємностей u_С(-0). Якщо по індуктивності до комутації проходив струм і_L(-0), то еквіваленту операторну схему подають операторним опором рL із послідовно ввімкненим внутрішнім, операторним джерелом ЕРС Li(-0). Напрям операторної ЕРС джерела співпадає з напрямом струму до комутації (прояв правила Ленца для е.р.с. самоїндукції в котушці). Заряджений конденсатор з напругою u_С(-0) заміняють незарядженим конденсатором з операторним опором і послідовно ввімкненим джерелом операторної напруги , напрям якої співпадає із розрядним струмом.

Рис. 5

4.3.3. Розрахунок операторної схеми. На цьому етапі знаходять операторний струм, операторні напруги на ємності і індуктивності, скориставшись будь-яким із методів розрахунку лінійних кіл постійного чи синусного струму. Згідно із другим законом Кірхгофа: , звідки

. Оскільки із попередньої схеми , а

u_С(-0)=40 В, то

4. Визначення оригіналів функцій часу за їх операторними зображеннями.

Оригінали функцій знаходять, використовуючи перевідні таблиці, за відповідними їм операторними зображеннями. Однак оригінал від можна одержати не лише за допомогою перевідних таблиць, а і спеціального математичного виразу, який дістав назву формули розкладання:

Корені одержують, розв’язавши рівняння . У всіх випадках . Корені знаменника для струму і напруг дорівнюють . Похідна від знаменника .

Тому ;

;

;

При наявності двох дійсних коренів рівняння вільні складові являють собою різницю двох експонент одна із яких затухає за законом , а інша – за законом . Результати, одержані класичним і операторним методами, співпадають.

4.4. Спектральний метод аналізу перехідних процесів

В радіолокаційній техніці використовують напругу у вигляді періодичної послідовності прямокутних імпульсів.

Форму сигнала утворює сукупність миттєвих значень. Наприклад, якщо в інтервалі від t=0 до t=t₁ напруга зросте пропорційно часу, а інтервалі t=t₁ до t=t₂ зменшиться за тим же законом, то такі сигнали мають трикутну форму рис.6а. Є сигнали прямокутної форми рис.6б, всі вони можуть бути періодичними і неперіодичними:

	а		б

Рис. 6

Неперіодичні сигнали з’являються один раз, періодичні – ті, миттєві значення яких повторюються через час Т (період). Вивчення неперіодичних сигналів потребує складнішого математичного апарату, ніж для вивчення періодичних. Як побачимо далі, періодичні сигнали породжують спектри дискретні (лінійчасті), а неперіодичні – суцільні (неперервні). Досить поширеними є періодичні сигнали прямокутної форми з паузами між ними. Такі сигналі характеризуються скважністю між ними, тобто відношенням періоду Т до часу посилання імпульсу t_ім: . Якщо q=2, то . , тобто посилання сигналу відбувається на протязі півперіоду, якщо q=10, то сигнал подається за час .

Аналіз кіл несинусного періодичного струму ґрунтується на поданні (представленні) несинусних сигналів рядами Фур’є, тобто підбирають сукупність (ряд) гармонічних (синусних, косинусних) сигналів з такими амплітудами, частотами і початковими фазами, алгебраїчна сума ординат яких в будь-який момент дорівнює ординаті несинусного сигналу. Гармонічна складова, період якої дорівнює періоду негармонічного сигналу, називають першою або основною гармонікою даного негармонічного сигналу.

При розкладанні функції в ряд Фур’є використовують синусну і косинусну способи подання. Будемо дотримуватись першого способу як найбільш поширеного. При кожному способі ряд Фур’є записують двояко. Кожна гармоніка може складатись:

а) із синусоїди з відповідною частотою і початковою фазою:

Це амплітудно-фазова форма запису ряду Фур’є:

б) із синусоїди і косинусоїди, але із нульовими початковими фазами кожна

.

Це тригонометрична форма запису ряду Фур’є

Перехід від одної форми запису до іншої випливає із відомого тригонометричного співвідношення

Вираз стоїть перед синусом і тому являється амплітудою синусної складової , вираз – амплітуда косинусної складової .

Отже, .

На практиці знаходять спочатку синусні амплітуди , далі косинусні амплітуди , амплітуду і початкову фазу спільної синусної кривої даної гармоніки

Амплітуди синусної () і косинусної () складових знаходять за відомими із математики формулами для визначення коефіцієнтів ряду Фур’є:

Якщо миттєва напруга деякого негармонічного сигналу має значення u(t), то таку негармонічну напругу можна подати рядами Фур’є

Для кривої прямокутної форми при скважності q=2 ряд має вигляд

У кривих, симетричних відносно вертикальної осі, f(t)=f(-t) (рис.7), коефіцієнт при синусних складових дорівнює нулю ; треба обчислювати лише косинусні коефіцієнти . Оскільки , а , то , тобто косинусні коефіцієнти ряду є спільними коефіцієнтами членів ряду ,

.

Рис. 7

Амплітудно-частотна характеристика неперіодичних сигналів (спектральна густина)

Як згадувалось, будь-яку періодичну несинусну функцію можна подати рядом Фур’є. Для того, щоб від періодичного сигналу перейти до неперіодичного, збільшують період Т. Наслідком цього є одержання виразу для знаходження спектра неперіодичного сигналу

Однак використання частотних хараткеристик неперіодичних сигналів доцільне також для імпульсних періодичних, у яких період більший від часу дії імпульсу , коли імпульс починається і закінчується в межах періоду: , де ₁ - частота імпульсного періодичного сигналу.

Випадок 1. Розрахувати спектр сигналів прямокутного імпульсу рис.8:

Рис. 8

Спектральна характеристика

. Оскільки , вираз у дужках замінимо на , тому .

В амплітудному спектрі початкове значення функції , (проведена заміна: якщо х0, sinx x),тобто чисельно дорівнює площі імпульсу.

Випадок 2. Розрахувати спектр сигналів прямокутного імпульсу, зміщенного відносно початку координат вправо на t (Рис.9 ). Якщо початок координат, з яким збігається початок відліку часу, знаходиться не в центрі імпульсу, для знаходження його спектра використовують теорему запізнення. Якщо , то . Тобто за умови зсуву імпульсу праворуч на , його спектральну характеристику слід домножити на . Якщо ж не використовувати теорему запізнення, то

Рис. 9

Домножимо вираз на коефіцієнт , який дозволить врахувати фазу.

Тоді

В останній формулі к – номер гармоніки, а n – номер інтервала.

Випадок 3. Розглянемо випадок, коли середина імпульсу зміщена відносно початку координат вправо на (рис.10).

Рис. 10

Але , тому

Амплітудний спектр . В амплітудному спектрі початкове значення функції (якщо х0, то sinx=x). F(0) дорівнює площі імпульсу. Нулі функції F(j) будуть за умови , де к=1, 2... , коли .

Максимальні значення (стоять перед знаком синуса), а саме знаходять при і дорівнюють .

Загальний вираз для амплітуди к-ї гармоніки: .

Для q=2,

для q=3,

для q=4,

для q=5,

для q=10,

Обгинаючою лінією амплітудного спектра імпульсного сигналу є «затухаюча» синусоїда, або графік функції.

Гармоніки, які розміщені між 0 Гц і першим нулем функції , відносяться до першої пелюстки частотного спектра (n=1), вони додатні. Гармоніки сигналу між першим і другим нулем знаходяться в другій пелюстці (n=2) і мають від’ємні значення. Гармоніки між другим і третім нулями належать до третьої пелюстки (n=3). Вони знову додатні і т.д.

Ряд Фур’є для сигналу:

.