4.2. Алгоритм класичного методу розрахунку перехідних процесів

Рис. 3

На рис. 3 зображено коло другого порядку. Алгоритм проведення аналізу перехідних процесів класичним методом може бути таким.

1. Розрахунок вимушеного режиму до перехідного процесу, включаючи останній момент перед комутацією (). Струм у вітці . Напруга на конденсаторі і на активному опорі , оскільки опір індуктивності постійному струму відсутній. Значення струмів у гілках з індуктивностями і напруг на ємностях у момент комутації відносять до незалежних.

2. Розрахунок усталеного режиму після перехідного процесу.

Після комутації джерело напруги відключається від електричного кола і в наступному перехідному процесі участі не приймає. В колі, що складається лише із одного контура, відбувається розрядження ємності через опір , що закінчується після повного розряду. Тому всі вимушені значення напруг і струмів нульові.

3. Розрахунок вільного режиму.

А) Для кола має місце рівняння , а після підстановки і Оскільки , рівняння набуває вигляду або .

Отримане рівняння приводять до нормального вигляду: члени в лівій частині розміщують в порядку спадання похідних, коефіцієнт при вищих похідних повинен дорівнювати одиниці. Поділимо рівняння на коефіцієнт LC, тоді .

Класичним методом розрахунку перехідних процесів називають метод розрахунку, в якому розв’язок диференціального рівняння беруть у вигляді суми вимушеного і вільного розв’язків. Такий метод застосовують в математиці, коли на підставі принципу накладання результат є сумою окремого розв’язку неоднорідного рівняння із правою частиною та загального розв’язку однорідного рівняння без правої частини (визначення вільної складової) .

Б) Складають характеристичне рівняння, що відповідає даному диференціальному. Для цього другу похідну замінюють оператором , першу похідну множником , нульову похідну – 1. Тому . Характеристичне рівняння дає змогу знайти вільну складову напруги , тобто загальний розв’язок однорідного рівняння.

Для складання характеристичного рівняння зручно використати метод «вхідного опору» без посилання на диференціальне рівняння. Якщо відносно будь-якої вітки записати вхідний опір кола у комплексній формі, замінити вираз на оператор і прирівняти комплексний опір до нуля, одержують характеристичне рівняння, яке має такий же вигляд

.

В) Розв’язок квадратного характеристичного рівняння має два корені

, де . В залежності від параметрів елементів електричного кола можливі такі варіанти розв’язання характеристичного рівняння:

а) коли активний опір кола перевищує його подвоєний хвильовий (R), корені дійсні, різні і від’ємні, відбувається аперіодичний процес. Загальний вигляд закономірності, за якою змінюються вільна складова струму через ємность:

;

б) коли активний опір кола дорівнює його подвоєному хвильовому опору, корені дійсні, однакові, маємо межу аперіодичного процесу;

в) коли активний опір менший від його подвоєного хвильового опору (R), корені комплексно-спряжені-то відбувається коливальний процес. Загальний вираз закономірності, за якою змінюються напруга на ємності:

.

На рис. 3: R=40, , тобто R - аперіодичний процес. Корені характеристичного рівняння - від’ємні, дійсні і різні, отже, перехідний процес носить аперіодичний характер. Окремий розв’язок диференціального рівняння для струму на індуктивності має вигляд:

,

а для напруги на індуктивності .

Г) Для розрахунку двох сталих інтегрування запишемо вираз для моменту часу .

Активний опір і індуктивність з’єднані паралельно до ємності, тому .

Враховуючи знаходимо: , вираз в дужках: .

Спільний розв’язок рівнянь і дає А₂=-0,5, А₁=1,5.

Після підстановки постійних інтегрування знаходимо значення струму в індуктивності

a )

б )

в)

Рис. 4

Напруга на індуктивності , бо L=1 Гн.

Напруга на ємності