10.Обратная матрица.

Определение.

Матрица B (A^–1) называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е (единичная матрица).

Теорема.

Билет 11: Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Опр: Ранг матрицы A – максимальный порядок первого нулевого минора.

Опр: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы, формирующие Базисный Минор, называются базисными строками и столбцами.

ТОМБ: Столбцы матрицы A, входящий в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы A линейно выражается через столбцы из базисного минора.

Док-во: Предположим противное, система длинных столбцов линейно зависима, система коротких столбцов (входящих в длинные) … линейно зависима, по свойству определителя A=базисному минору=0, противоречие, т.к. базисный минор0.

A= + + + ... + ()

= + + … + ;

= + +

Опр: Система столбцов называется линейно зависимой  не все равные 0 и такие, что .

Билет 12: Следствие из теоремы о базисных минорах:

0=0 , 0 линейно зависимой системы из столбца размером из n элементов.

система строк (столбцов) определителя линейно зависима.

система столбцов, входящих в базисный минор, содержит не все n столбцов, , не входящий в базисный минор, по теореме о базисных минорах этот столбец линейно выражается через столбцы базисного минора, а значит через все остальные столбцы матрицы A, получается, что этот столбец линейно выражается через остальные столбцы, (критерий линейной зависимости: [система линейно зависима  , где : система столбцов линейно зависима.

Следствие: система строк матрицы A линейно зависима  система столбцов линейно зависима.

б) Рассмотрим систему из (K + 1) столбцов высоты K,

. Система линейно зависима.

Док-во: A=столбец, не входящий в базисный минор, который выражается линейно через остальные.

Билет 13: О линейно независимой системе из K столбцов, линейно выраженных через столбцов.

Система столбцов линейно независима и выражается через систему столбцов, тогда

0 0 0 .

Док-во:

Покажем, что строки матрицы A образуют линейно независимую систему. Предположим обратное , не все=0, и такие, что сумма строк, умноженных на дает нулевую строку: – противоречие, т.к. система столбцов линейно независима. Если бы было K>, то система строк (столбцов) была бы линейно зависимой, K.

Билет 14: Следствие из теоремы о базисных минорах о линейном выражении столбцов матрицы через линейно независимую систему из r столбцов.

Если все столбцы матрицы A линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то

Док-во: Столбцы, входящие в максимально линейно независимую подсистему (в количестве r штук), линейно выражаются через .

Столбцы (в количестве r штук) линейно выражаются через столбцы, входящие в максимально линейно независимую подсистему в количестве ,

Билет 15: Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых строк (или равен рангу системы строк матрицы A)

Док-во: Пусть – столбцы, не входящие в базисный минор и они - максимально линейно независимая подсистема. Ранг системы столбцов =m (число столбцов, входящих в максимально линейно независимую подсистему). по следствию 3 (если система линейно независима и выражается через другую, то K). . По следствию 3 и утверждению (все максимально линейно независимые подсистемы состоят из одного и того же числа столбцов) и в сумму того, что все столбцы состоят из одного и того же числа столбцов) и в сумму того, что все столбцы линейно выражены через столбцы максимально линейно независимой подсистемы, , .

Критерий линейной зависимости системы столбцов.

Система столбцов линейно зависима (линейно независима ).

Док-во: Система столбцов линейно зависима, базисный минор содержит меньше чем m строк, .

базисный минор содержит не все строки, строка, не входящая в базисный минор, строка линейно выражается через остальные, система строк линейно зависима.