Коллоквиум (1 семестр)

Вопрос 1. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матриц на число. Транспортирование матриц. Операция умножения матриц, её свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

Матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n×n называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой O.

Имеет вид:

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается

Сложение матриц

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что

Умножение матриц

Условие: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

Свойства умножения матриц:

1)

2)

3)

4)

Для операции транспонирования верны свойства:

1. 

2. 

Вопрос 2.Перестановки и подстановки, их свойства.

Всякое расположение чисел 1,2…n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел.

Если в некоторой перестановке поменять местами 2 символа, а все остальные не трогать, то это преобразование называется транспозицией.

Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки

Доказательство

1)…i, j..…j, i Если i и j раньше не составляли инверсии, то в новой перестановке появится 1 новая инверсия, если инверсия была, то она пропадет

2) путем (2S+1) транспозиций соседних элементов. Т.о. нечетное число раз меняем четность перестановки, ч.т.д.

Подстановка –всякое взаимно однозначное отображение конечного множества на себя

Свойство. Число подстановок n-ой степени равно числу перестановок из n символов, т.е. n!

Определение. Подстановка А будет четной, если общее число инверсий в 2 строках любой ее записи четно.

Вопрос 3. Определитель порядка n. Определитель транспортированной матрицы.

Доказательство

Достаточно заметить, что разложение определителя по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя по первой строке.

Вопрос 4. Свойства определителя : а) перестановка строк ; б) умножение строки на число;

в) разложение определителя, если строка – сумма двух строк.

А)При перестановки местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Доказательство

По определению

Поменяем местами строки (столбцы) k и l

При перестановки местами двух столбцов(строк) меняется количество инверсий на 1 или -1, при этом меняется знак определителя.

Б) Умножение всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца) определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

Доказательство

==λ

Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Доказательство

Разложим каждый из трех определителей по i-ой строке и заметим, что у всех трех определителей все миноры элементов i-ой строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула сразу вытекает из равенств