Лабораторная работа №9. Оценивание функции Торнквиста

Цель работы: овладеть практическими приёмами эконометрического моделирования в маркетинговых приложениях, усвоить недостатки статистических методов оценивания ненаблюдаемых параметров, выработать критическое отношение к ним, получить представление о величине возможных статистических ошибок при применении распространённых приёмов эконометрического моделирования.

Приборы и материалы: ПЭВМ, оснащённая табличным процессором. Желательно наличие специализированного пакета прикладных программ для статистического анализа (SPSS, Statistica)

Задание

1. Выполнить статистическое оценивание параметров функции Торнквиста на товары второй необходимости по имеющимся данным о величинах дохода и спроса на некоторый товар, предполагая порог возникновения спроса известным и равным величине b, заданной в индивидуальном варианте задания (табл. 8).

2. Выполнить статистическое оценивание параметров функции Торнквиста на товары второй необходимости по имеющимся данным о величинах дохода и спроса на некоторый товар, определив порог возникновения спроса на основе имеющихся эмпирических данных.

3. Сделать заключение о существенности модели (по результатам F-теста), параметров α и β (по результатам t-теста), оценённых при выполнении заданий 1 и 2.

4. Определить эластичность спроса по доходу для уровня возникновения спроса, медианного и максимального дохода по совокупности согласно результатам оценивания и согласно данным о действительных значениях параметров функции Торнквиста.

Методические указания по выполнению задания

1. Функция Торнквиста для товаров второй необходимости является эмпирической спецификацией теоретической зависимости спроса на продукты, которые не являются жизненно необходимыми, но способны при конечном уровне потребления полностью удовлетворить соответствующую потребность. Она задаётся соотношением где y — спрос на данный товар (кг в год); x — доход (тыс.руб. в год); a — уровень насыщения спроса (кг в год); b —доход, при котором возникает спрос (тыс.руб. в год); c — параметр, определяющий эластичность спроса по доходу при заданных a и b (тыс.руб. в год).

Чем больше значение c, тем выше эластичность спроса по доходу. Поскольку данная функция зависит от трёх параметров, связывая лишь две переменных, значения всех параметров невозможно оценить методом наименьших квадратов, так как задача об отыскании минимума суммы квадратов отклонений воспроизведённых моделью значений y от фактических имеет в этом случае бесконечно много альтернативных решений. Поэтому, как правило, границу возникновения спроса приближённо определяют экзогенно (то есть без обращения к эмпирической модели). В данном задании она считается заранее известной.

Зная величину b, функцию Торнквиста можно преобразовать к линейной зависимости, связывающей переменные, которые можно рассчитать, пользуясь имеющимися данными о спросе и доходе. Для этого обе её стороны следует умножить на знаменатель, а затем привести подобные. Затем члены, содержащие оцениваемые параметры (кроме b), следует собрать в правой части уравнения. Получим уравнение вида z = αx+β, где x — доход (тыс.руб. в год); z — рассчитываемое на основе эмпирических данных превышение дохода над уровнем возникновения спроса, отнесённое к величине спроса, то есть (x – b) / y (тыс.руб./кг)¹, α и β — оцениваемые параметры, связанные с интересующими нас величинами a и c следующим образом: a = α; c = –β. Параметры полученного уравнения в принципе могут быть оценены с помощью метода наименьших квадратов, что позволяет определить на их основе неизвестные параметры функции Торнквиста для товаров второй необходимости. На практике таким приёмом оценивания пользуются достаточно часто, не принимая во внимание того, что величина z неизбежно, в силу метода её расчёта, распределена асимметрично. В процессе оценивания мы увидим, насколько значительным оказывается отклонение оценок параметров от их действительных значений, которые в данном случае известны точно благодаря тому, что совокупности данных, по которым выполняется оценивание, в данном случае сформированы искусственно.

При этом, если результаты F-теста не позволяют отвергнуть гипотезу о существенности модели, получившуюся в процессе оценивания зависимость допустимо использовать для прогнозирования спроса при заданном уровне дохода, поскольку, как следует из теории и как показывает практика, ошибка в оценке одного параметра до некоторой степени компенсируется ошибкой в определении другого параметра. Но о значениях параметров, а значит, и эластичности по результатам оценивания достоверно судить нельзя даже при положительных результатах t‑теста, вопреки распространённой даже в профессиональных научных исследованиях практике.

Для ввода данных о спросе и доходе, приведённых в индивидуальных вариантах задания, целесообразно пользоваться электронным вариантом данного издания, размещённым по адресам http://nsvetlov.narod.ru/umk6/lr-emm.doc и http://svetlov.value.da.ru/lr-emm.doc.

2. Оценивание функции Торнквиста осуществляется в той же последовательности, но граница возникновения спроса определяется на основе эмпирических данных. В простейшем случае в качестве этой границы (а значит, величины параметра b) можно принять среднюю арифметическую между максимальным доходом, при котором спрос на исследуемый товар отсутствует, и минимальным доходом, при котором он имеется. При этом не имеет значения, какая из этих двух величин больше.

При расчёте параметров F-теста и t-теста число степеней свободы следует уменьшить на единицу по сравнению со стандартными правилами их расчёта для однофакторной регрессионной модели, то есть принять его равным n–3, где n — число имеющихся наблюдений. Это связано с тем, что по данным n наблюдений мы определяем не два, а три параметра — один с помощью аналитической процедуры, вытекающей из его смысла, а два другие — с помощью метода наименьших квадратов. Впрочем, если число наблюдений значительно (измеряется несколькими десятками и более), это различие обычно не имеет существенного значения.

3. Заключение о существенности модели и её параметров следует делать, предполагая уровень значимости равным 0,05.

4. Данные о действительных значениях параметров функции Торнквиста содержатся в индивидуальных вариантах задания. Формула для расчёта эластичности имеет следующий вид:

Требования к отчёту

В отчёте приводятся математические записи функции z = αx+β и функции Торнквиста в числовой форме с указанием оценённых числовых значений параметров; результаты статистических тестов о существенности и модели параметров для уровня значимости 0,05 с указанием порогового значения уровня значимости, при котором заключение относительно гипотез о существенности модели (параметров) меняется на противоположное; формулы для расчёта эластичностей спроса по доходу с подставленными в них числовыми значениями оценок параметров согласно заданиям 1 и 2, а также действительными значениями параметров; эластичности, рассчитанные по результатам задания 1, задания 2 и по действительным значениям параметров; заключение о достоверности эластичностей, определённых на основе полученных оценок.

Если преподавателем не предписано иначе, отчёт предоставляется в электронном виде на дискете или с использованием средств компьютерных телекоммуникаций.

Литература

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Глава 4.

Эконометрика: начальный курс: Учебник. 8-е издание // Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. М.: Дело, 2007.

Варианты заданий

Исходные данные для оценивания параметров функции Торнквиста приведены в табл. 8. При этом для формирования задания вариантов 8…14 доход и действительные значения параметров b и c увеличиваются на 20% по сравнению с заданными, а действительные значения параметра a — уменьшаются на 20%. Для формирования вариантов 15…20 доход и действительные значения параметров b и c увеличиваются на 40% по сравнению с заданными, а действительные значения параметра a — уменьшаются на 40%.

Таблица 8

Данные о спросе и доходе

Варианты 1, 8, 15		Варианты 2, 9, 16		Варианты 3, 10, 17		Варианты 4, 11, 18		Варианты 5, 12, 19		Варианты 6, 13, 20		Варианты 7, 14
Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)	Спрос (кг)	Доход (тыс. руб.)
34,25	264,31	—	24,32	35,97	56,18	40,34	75,70	49,58	156,35	88,25	224,06	51,13	167,21
40,34	291,44	39,87	47,32	9,56	31,94	33,20	102,86	40,83	104,81	12,65	82,88	43,58	173,20
44,58	217,92	55,67	96,23	15,06	51,73	33,21	78,83	32,06	75,76	83,25	225,00	0,18	82,57
27,83	237,72	42,26	74,00	34,58	61,63	31,46	109,51	31,42	88,63	8,09	73,27	—	51,89
25,24	232,43	72,83	111,08	40,65	70,62	34,92	117,98	48,63	180,11	97,12	256,02	22,71	105,97
3,26	101,37	47,75	58,71	31,58	81,46	29,63	78,92	21,82	88,29	69,35	164,49	39,18	150,77
23,26	187,86	56,09	92,62	32,56	55,60	44,74	111,15	30,99	89,98	67,46	186,03	43,64	141,27
18,22	141,14	45,17	69,75	48,63	94,91	24,05	62,21	55,28	151,22	19,07	88,14	42,13	168,21
28,66	240,26	10,33	40,69	9,31	39,50	57,41	131,53	20,64	66,83	85,28	196,14	55,56	235,37
37,99	190,82	—	13,82	35,11	95,99	20,53	81,93	33,18	121,16	72,65	173,95	55,34	211,78
25,33	266,44	44,24	62,91	55,66	111,32	28,73	76,14	35,01	81,90	45,12	111,15	57,42	218,83
23,75	131,22	24,17	45,34	25,03	56,78	17,34	81,49	41,25	111,21	87,97	268,91	53,13	203,79
43,10	280,28	—	27,63	31,81	76,30	43,35	137,18	28,32	125,37	104,15	270,37	34,36	128,62
14,14	137,79	30,70	47,24	41,63	101,67	—	23,16	56,14	159,70	99,30	275,61	37,49	122,76
40,35	331,85	21,21	42,68	25,56	58,25	44,55	182,50	36,10	135,90	70,97	195,36	49,97	156,90
36,52	172,89	52,80	69,61	36,20	61,60	33,76	92,53	9,02	61,43	32,37	92,01	53,41	220,94
34,06	269,34	10,13	34,15	50,51	89,87	30,60	70,83	39,75	95,74	43,25	111,45	71,51	252,69
31,71	284,22	29,37	57,88	—	20,61	27,83	59,84	2,15	49,88	—	27,43	57,09	188,06
34,33	241,41	44,70	66,03	19,97	43,81	47,36	138,57	50,71	146,98	74,46	166,46	65,97	241,06
8,54	125,23	44,39	53,05	32,09	72,20	28,74	62,57	—	40,97	79,94	204,95	48,65	122,96
41,71	287,80	26,14	45,45	39,18	111,97	17,20	66,49	54,45	136,39	83,19	263,68	58,13	179,31
35,78	228,15	—	8,23	37,00	58,19	40,23	135,24	32,11	102,55	84,40	224,46	60,97	199,26
32,85	315,47	53,98	72,89	27,25	57,50	31,51	97,35	31,63	100,05	55,56	140,07	—	48,30
33,00	283,63	66,23	92,12	32,28	63,27	—	12,32	55,96	158,87	37,33	97,47	38,84	127,65
20,42	205,26	—	16,58	44,31	99,92	33,72	89,48	37,13	115,34	49,52	139,00	36,91	144,15
33,90	207,08	67,28	97,10	34,66	107,24	27,02	90,96	16,19	54,75	77,24	174,46	—	53,64
31,64	217,37	46,91	72,39	25,22	62,20	30,10	90,44	34,05	89,00	62,96	148,59	33,65	118,32
31,63	324,63	45,37	76,65	34,90	79,80	31,45	74,70	27,61	107,55	72,01	179,13	31,92	107,90
35,69	268,43	45,46	85,51	44,45	113,40	31,07	98,38	—	46,92	68,18	167,96	31,67	128,10
27,71	215,27	39,77	44,83	39,10	92,56	33,24	99,14	40,59	93,01	87,58	269,82	40,88	121,69
27,02	178,95	54,88	80,65	42,33	118,17	33,93	88,26	48,31	147,18	58,38	143,69	51,74	150,05
41,91	303,92	54,30	77,43	33,82	61,11	38,46	96,33	17,34	60,68	24,93	94,08	31,85	132,10
20,97	297,15	50,26	68,16	39,90	62,07	19,18	86,07	27,82	90,79	90,50	226,45	47,32	172,13
29,37	197,63	64,67	74,59	12,01	40,59	52,85	105,75	37,59	105,16	—	23,92	44,97	128,27
30,45	203,21	—	32,24	39,21	112,85	44,42	106,12	29,65	89,41	—	50,67	57,95	182,95
—	80,06	61,06	95,83	10,75	34,91	47,69	100,76	9,90	45,12	80,43	171,66	53,99	191,93
15,97	209,17	22,19	42,29	—	19,91	33,80	144,63	36,68	108,34	52,92	143,13	46,50	150,07
21,44	208,11	55,93	109,36	27,65	51,35	35,74	102,68	—	36,67	60,35	152,22	34,88	115,43
21,14	258,4	49,58	63,21	38,84	60,47	18,74	81,72	42,57	93,72	73,58	170,33	52,53	192,44
42,52	252,72	53,29	85,04	31,18	75,66	36,17	145,78	20,94	63,33	84,72	225,11	56,55	163,63
54,76	365,78	64,95	77,73	41,20	122,02	23,07	55,72	40,76	113,79	77,63	179,17	52,45	179,04
22,51	206,81	29,77	52,43	40,09	72,03	42,11	115,18	25,19	66,16	80,18	243,12	16,43	81,29
43,70	256,99	35,35	60,56	22,86	72,72	—	11,26	43,04	89,16	91,68	280,82	71,68	279,33
27,49	262,65	44,76	63,14	32,67	90,76	38,14	123,11	19,87	60,94	26,08	104,51	30,02	120,22
18,03	160,93	32,19	55,95	34,13	98,49	11,02	50,20	7,29	51,36	68,66	162,55	46,75	176,31
12,97	100,75	39,49	46,72	22,67	56,93	35,66	80,96	26,52	88,24	27,68	86,16	63,02	219,33
26,27	214,43	65,85	102,29	40,35	72,91	43,90	125,10	30,88	98,46	55,64	122,4	61,18	216,46
27,90	218,25	72,47	120,47	14,29	49,66	32,03	153,36	36,08	92,24	72,16	159,77	42,70	137,55
26,70	205,02	32,77	52,88	35,01	64,3	—	40,23	33,47	123,81	52,26	113,17	49,47	162,15
28,68	203,26	56,04	81,81	—	14,05	—	38,31	25,03	71,25	86,48	180,04	41,33	163,83
Действительные значения параметров функции Торнквиста
a=50		a=100		a=55		a=66		a=80		a=130		a=90
b=80		b=30		b=30		b=40		b=42		b=70		b=75
c=10		c=10		c=-5		c=15		c=30		c=15		c=0