3.2. Симплекс-метод решения злп

3.2.1. Аналитический симплекс-метод

Для случая, когда число переменных более 3-х, геометрический метод становится невозможным. В этом случае применяются другие методы, среди которых наиболее универсальным является симплексный метод (симплекс-метод), разработанный американским учёным Дж. Данцигом. Алгоритм решения можно представить следующим образом:

1. Систему ограничений (2.5) приводят к каноническому виду и составляют расширенную матрицу этой системы.

2. Определяют ранг матрицы и, используя метод Жордана – Гаусса, выражают базисные переменные через свободные переменные. Обязательным условием является положительность свободных членов (постоянных). Целевую функцию, стремящуюся, например, к min, также выражают через свободные переменные.

3. Приравнивая все свободные переменные к нулю, получают начальное опорное решение (базисное решение) и соответствующее значение целевой функции.

4. Далее решение разбивается на ряд шагов (этапов, итераций), заключающихся в том, что от исходного базиса переходят к другому базису с таким расчётом, чтобы значение целевой функции уменьшалось или, по крайней мере, не увеличивалось (для задачи на min).

Идею метода проследим на примере.

Пример 3.4.

.

1. Система приведена к каноническому виду (см. раздел 2).

2. Ранг основной и расширенной матрицы r = 3, тогда в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли система совместна и базис относительно переменных х₁, х₂, х₃ уже выделен. Свободные члены после выражения базисных переменных остаются положительными.

Целевая функция выражена через свободные переменные х₄ и х₅ и стремится к min.

3. Приравниваем свободные переменные х₄ и х₅ к нулю и получим начальное опорное решение

для которого . Все вышеперечисленные действия представляют собой 0-й шаг. Обращаем внимание, что свободные переменные равны нулю, а базисные переменные приняли положительные значения.

4. На 1-м шаге попытаемся уменьшить значение f (), что можно добиться только увеличением значения х₅, так как оно стоит со знаком « – ». Увеличим значение х₅ так, чтобы х₁, х₂, х₃ не стали отрицательными, оставив х₄ = 0. Из 2-го уравнения системы следует, что х₅ можно увеличить до 2. Т. о., получаем новое решение = (5,0,1,0,2) и f () = – 2 уменьшилось.

На 2-м шаге за свободные переменные принимают х₂ и х₄ (нулевые значения в ), а остальные переменные за новый базис х₁, х₃, х₅ (ненулевые значения в ). Для этого из 2-го уравнения системы выражают х₅ через х₂ и х₄. Базисные переменные х_1, х₃ и целевую функцию f () также выражаем через новые свободные переменные х₂ и х_4.

.

Для уменьшения будем увеличивать х₄. Из системы видно, что при условии неотрицательности х₃ (х₂=0) значение х₄ можно увеличить до х₄= (третье уравнение). Тогда новое допустимое решение =(,0,0,,) и f () = – .

3-й шаг. Свободные переменные х₂ и х₃, а базисные х₁, х₄, х₅. Из третьего уравнения выражаем х₄ через х₂ и х_3, а в первом и третьем уравнениях делаем преобразования с учетом выражения х₄ через х₂ и х_3. Кроме того, преобразовываем значение целевой функции с учетом выражения х₄ через х₂ и х_3. Получим:

Т. к. в последнее выражение целевой функции все переменные входят с положительными коэффициентами, то её наименьшее значение достигается при х₂ = 0, х₃ = 0. Это означает что решение = (,0,0,,) является оптимальным, т.е. f _min() = – .

Анализируя ход решения, т.е. минимизацию, можно сделать выводы:

1. Если все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для целевой функции положительны (неотрицательны), то значение , равное значению свободного члена (константы), является минимальным, а базисное решение – оптимальным.

2. Если в целевой функции имеется свободная переменная с отрицательным коэффициентом, а в системе при этом неизвестном все коэффициенты положительны, то задача решения не имеет.

3. Если в целевой функции имеется свободная переменная, коэффициент при которой отрицателен, и в системе уравнений при этой переменной также имеется хотя бы один отрицательный коэффициент, то оптимальное решение может быть найдено посредством проведения итераций.