8.3 Построение линии пересечения двух поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей (плоскостей посредников) Взаимное пересечение поверхностей

 

Две поверхности пересекаются между совой по кривой или ломаной линии. Эту линию часто называют линией перехода. Для определения линии перехода находят точки, принадлежащие обеим поверхностям. Если хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой или многогранником, то линию перехода можно построить, найдя точки встречи ребер или образующих этой поверхности, и соединить их в надлежащим порядке.

Другим способом нахождения линии перехода является применение вспомогательных поверхностей-посредников, которыми пересекают обе заданные поверхности . Чаще всего в качестве поверхностей–посредников  применяют плоскости, а также сферы.

Вспомогательные плоскости и сферы следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с заданными поверхностями получались удобными и простыми для построения  (по возможности прямыми или окружностями).

 

 

Рисунок 8.16

 

Построение линии пересечения поверхностей при помощи плоскостей- поверхностей

 

Рисунок 8.16

На рис. 8.16 показаны две поверхности F и S, пересеченные плоскостями-посредниками Р₁ и Р₂. ПлоскостьР₁ пересекает заданные поверхности по двум кривым l` и m` (соответственно).Точки M`=l`m` и N`=l`m` пересечения этих линий принадлежат искомой линии пересечения данных поверхностей. Аналогично находят точки M₂ и N₂, полученные с помощью плоскости Р₂. Поверхностей посредников должно быть взято столько, сколько необходимо для того, чтобы полностью построить требуемую линию пересечения данных поверхностей. В случае построения линии пересечения поверхностей многогранников в качестве плоскостей- посредников удобно пользоваться проецирующими плоскостями. 

Для построения линии пересечения поверхностей конуса, пирамиды, цилиндра и призмы бывает целесообразно брать такие плоскости- посредники, которые пересекают эти поверхности по образующим или ребрам. Если хотя бы одна из пересекающихся является сферой, удобно в качестве посредников применять плоскости уровня, так как сечения сферы в этом случае проецируется на одну из плоскостей проекций  в виде окружностей, а на другую в виде отрезков прямой. В зависимости от взаимного расположения поверхностей линий  пересечения может быть одна (в случае врезания) или две (в случае проницания).

 

Пересечение поверхностей конуса и шара.

На рис 8.17 показаны конус вращения и сфера. Первую плоскость-посредник Т проведем через ось конуса, параллельно П₂. Так как в данном случае плоскость Т пройде через центр О сферы, то она пересечет и конус, и сферу по их очеркам. Эти очерки пересекутся в точках 1₂ и 2₂, п принадлежащих фронтальной проекции искомой линии. Горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ тех же точек находятся на Г₁ . Затем проводим плоскость Р║П₁ через центр О сферы. Плоскость Р пересечется с конусом  по окружности радиусом АВ, а  со сферой – по окружности радиуса СО , являющейся очерком сферы. Проекции указанных окружностей на П₁ пересекутся в точках 3₁ и 4₁, которые принадлежат  горизонтальной проекции искомой линии и отделяют видимую часть этой проекции от невидимой. Проекции 3₂ и 4₂ на П₂ тех же точек 3 и 4 сливаются в одну точку на следе. 

Для построения добавочных точек линии перехода следует провести плоскости-посредники параллельно П₁  между точками 1 и 2. На рис. 8.17 проведена плоскость  Q и построены проекции точек 5 и 6. Все найденные  проекции точек, принадлежащих линий перехода, соединяем в следующем порядке: на П₁ – 1₁, 3₁, 5₁, 2₁, 6₁, 4₁, 1₁, и на П₂ – 1₂, 3₂, 5₂, и 2₂. На П₁ участок кривой 3₁ 1₁ 4₁ будет видимым, а участок 3₁ 2₁ 4₁ – невидимым. На П₂ видимая часть кривой 1₂ 4₂ 2₂ и не видимая – 1₂ 3₂ 2₂ совпадают.

Рисунок 8.17