Пример 6

По заданной формуле ([p] & [q] & [(p  q)] найдём свойство шкал (W, R), относительно которых эта формула является тавтологией. Положим:

А = [p] & [q] & [(p  q)];

(t) = t₁t₂t₃R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & p*(t₂) & R(t, t₃) & q*(t₃) & ((p*(t)  q*(t))).

Из условий истинности:

p*(t₂) = x(R(t₂, x)  p*(x)),

q*(t₃) = x(R(t₃, x)  q*(x)),

найдём ленивые определения:

p*(x) = R(t₂, x); q*(x) = R(t₃, x).

Подставляя их в (t) и учитывая, что p*(t₂) = 1 и , q*(t₃) = 1, получим:

(t) = t₁t₂t₃R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & R(t, t₃) & (x(R(t, x)  R(t₂, x))  R(t₃, x)).

Утверждение (W, R) |= t(t) приводит к формуле 1-го порядка:

tt₁t₂t₃(R(t, t₁)  R(t₁, t₂)  R(t, t₃)  x(R(t, x)  R(t₂, x))  R(t₃, x).

Упражнения

Найти свойства шкал Крипке, соответствующих формулам:

1. А  А (Ответ: u(wRu));

2. А  А (Ответ: wRu & wRu  vRu);

3. А  А (Ответ: wRv & wRu  v = u);

4. А  А (Ответ: wRv  u(wRu & uRv));

5. А  А (Ответ: wRv & wRx  u(vRu & xRu)).

6.5. Темпоральная логика

Для темпоральной логики вместо символа используются символы [F] – «будет» и [P] – «было». Аналогично символу  определяются символы <F> = [F] и <Р> = [Р]. Модель Крипке M = (W, R, h) была определена как граф вместе с оценкой h : P  P(W). Напомним, что истинность формул [F]A и [P]A устанавливается с помощью выражений:

M, t |= [F]A, если и только если M, u |= A для всех u  W, таких, что R(t, u);

Система Гильберта для темпоральной логики

Формальная теория K_t состоит из следующих аксиом и правил вывода.

Аксиомы

1. Формулы D(B₁, … B_n), где D(p₁, …, p_n) – пропозициональные тавтологии.

2. [F](A  B)  ([F]A  [F]B); [P](A  B)  ([P]A  [P]B) (нормальность).

3. [F]A  [F][F]A (транзитивность).

4. A  [F]<P>A; A  [P]<F>A (отражение).

Правила вывода

; .

Здесь А, В, В₁, …, В_n – темпоральные формулы, возможно, содержащие [F] и [P].

Исходя из того, что для любой интерпретации с помощью шкалы Крипке формулы A  [F]<P>A и A  [P]<F>A будут тавтологиями, легко доказать следующую теорему корректности и полноты:

Теорема 1. Для любой темпоральной формулы А утверждение K_tA верно, если и только если А – тавтология относительно каждой шкалы Крипке (W, R), имеющей транзитивное отношение R. Здесь K_t ,означает, что А – теорема в формальной теории K_t.

Потоки времени

В темпоральной логике используются нерефлексивные транзитивные шкалы Крипке.

Шкала Крипке (W, <) называется потоком времени, если

1. x  W ((x < x)),

2. x, y, z  W (x < y & y < z  x < z).

Если t < v, то v называется будущим для t, а t – прошлым для v.

Теорема 2. Для любой темпоральной формулы А утверждение K_tA верно, если и только если А – тавтология относительно всех потоков времени.

Линейные потоки времени

Чтобы ограничить виды потоков времени, к системе Kt добавляются аксиомы. Аксиомы <F>1 и <P>1 означают отсутствие наименьшего и наибольшего t  W.

Истинность аксиомы [F][F]A  [F]A равносильна свойству плотности отношения доступности:

tu (t < u  v(t < v <u)).

Например, Q и R – плотные линейно упорядоченные множества, а Z – нет.

Для того чтобы потоки времени были линейно упорядочены, т.е. удовлетворяли условию:

tu (t < u  t = u  u < t),

добавляется аксиома

<F>A&<F>B  <F>(A&B)<F>(A&<F>B)(B&<F>A)

(или её зеркальное отображение).

В случае шкалы (Z, <) добавляются аксиомы:

[F]([F]A  A)  (<F>[F]A  [F]A),

[P]([P]A  A)  (<P>[P]A  [P]A).

Для шкалы (N, <) добавляются аксиомы:

[F]([F]A  A)  (<F>[F]A  [F]A),

[P]([P]A  A)  [P]A.

Для (R, <) добавляются аксиомы, обеспечивающие плотность отношения порядка и отсутствие максимального и минимального элементов. Добавляется аксиома Прайера:

<F>[F]  <F>A  <F>)[F]A& <P>[F]A).