Алгоритм Салквиста

Вход: Формула А, где А – несвязная.

Выход: Свойство шкал, соответствующее А.

Действия:

1. Выделить негативные и строго позитивные части формулы А.

2. Нарисовать схему, показывающую, что означает выполнение А в мире t; включить имена миров (например, t₁, t₂, …), провести между ними рёбра отношения R и отметить миры, на которых верны строго позитивные формулы …р.

3. Определить ленивую оценку, делающую строго позитивные оценки истинными в их мирах.

4. Для перевода А в А*(t) сделать следующее:

• поставить впереди формулы А*(t) кванторы s, где s пробегает имена миров, соответствующих ромбикам ;

• найти строго позитивные подформулы и заменить их на 1;

• заменить все оставшиеся предикаты р*(х), q*(y), …, соответствующие атомам;

• произвести упрощения, если можно.

В результате работы алгоритма Салквиста получаем некоторую формулу (t), истинность которой означает, что формула А верна в шкале (W, R) в некотором мире t относительно некоторой оценки.

Значит, формула А будет тавтологией тогда и только тогда, когда (W, R) удовлетворяет формуле t(t) (как модель языка первого порядка, состоящего из единственного бинарного предикатного символа R).

Тем самым, теорема доказана.

Замечание. Ленивая оценка определяет формулы р*(х) следующим образом: Рассматриваем подформулы р, р, р, …, для которых существуют миры среди t, t₁, t₂, … . Пути к соответствующим мирам будут давать формулы:

р*(х) = (x = t)  R(t, x)  x₁(R(t, x₁) & R(x₁, x))  …

 x₁x₂…x_m(R(t, x₁) & R(x₁, x₂) & … & R(x_m, x)).

Пример 2

Найдём формулу (t) для формулы А = (р  р). С этой целью представим А как р & р. Делаем 1 шаг перевода А*(t) = р*(t) & р*(t). Заменяем строго позитивную формулу р*(t) на 1, ибо ленивая оценка делает её истинной. Поскольку р*(t) даёт ленивое определение р*(х) = R(t, x), то А*()=1 & р*(t)=R(t, t). Получаем: (t) = = R(t, t). Если А – тавтология, то (W, R) |= t(t). Следовательно, (W,R) |= tR(t, t).

Пример 3

Пусть А = (р  р). Легко видеть, что А = р & р. Отсюда А*(t) = р*(t) & р*(t). Оценка р*(t) = 1 даёт ленивое определение р*(х) = R(t, x). Ленивая оценка превращает формулу р*(t) в истинную:

x(R(t, x)  р*(x)) = xy(R(t, x)  (R(x, y)  р*(y))).

Следовательно, (t) = xy(R(t, x) & R(x, y)  R(t, y)). Утверждение (W, R) |= (t) превращается в

(W, R) |= txy(R(t, x) & R(x, y)  R(t, y)).

Пример 4

Рассмотрим формулу р  р. Она эквивалентна формуле (р & р). Получаем формулу Салквиста ([р] & [p]). Положим А = [р] & [p]. Стандартный перевод равен:

А*(t) = p*(t) & t₁(R(t, t₁) & p*(t₁)).

Переводим t₁ в начало формулы:

А*(t) = t₁(p*(t) & R(t, t₁) & p*(t₁)).

Из условия истинности p*(t₁) получаем ленивое определение: р*(х) =R(t₁, x). Следовательно, А*(t) = t₁(R(t₁, t) & R(t, t₁)). Формула А будет тавтологией относительно (W, R) тогда и только тогда, когда

(W, R) |= tt1(R(t₁, t) & R(t, t₁)).

Получаем, что отношение R симметрично:

tt₁(R(t, t₁)  R(t₁, t)).

Пример 5

Пусть А – формула, рассмотренная при доказательстве теоремы Салквиста. Найдём А*(t) в случае, когда с = p  q:

A = (q & ([(p  q)] & [p])) & [p].

Мы получили формулу:

А*(t) = R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & R(t₁, t₃) & R(t₃, t₄) & R(t, t₅) & R(t₅, t₆) & q*(t₂) & c*(t₃) & p*(t₄) & p*(t₆).

Ленивое определение получаем из условия: p*(t₄) & p*(t₆) = 1. Мы установили, что

р*(х) = y(R(t₄, y) & R(y, x))  R(t₆, x);

q*(x) = (x = t₂).

Поставив с*(t₃) = p*(t₃)  q*(t₃) в формулу для А*(t), получим:

А*(t) = R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & R(t₁, t₃) & R(t₃, t₄) & R(t, t₅) & R(t₅, t₆) & (p*(t₃)  q*(t₃));

(t) = x₁x₂x₃x₄x₅x₆(R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & R(t₁, t₃) & R(t₃, t₄) & R(t, t₅) & R(t₅, t₆) & (x(R(t₃, x)  p*(x))  (t₃ = t₂)) = x₁x₂x₃x₄x₅x₆(R(t, t₁) & R(t₁, t₂) & R(t₁, t₃) & R(t₃, t₄) & R(t, t₅) & R(t₅, t₆) & (x(R(t₃, x)  y(R(t₄, y) & R(y, x))  R(t₆, x))  (t₃ = t₂))