Корректность и полнота систем Гильберта

Можно показать, что _KA имеет место тогда и только тогда, когда А – тавтология; утверждение _KТA равносильно тому, что А – тавтология относительно класса всех рефлексивных шкал Крипке; _S4A равносильно тому, что А – тавтология относительно класса транзитивных шкал.

Свойства шкал Крипке

Мы раньше доказывали, что аксиома Т (q  q) является тавтологией относительно шкалы F = (W, R) тогда и только тогда, когда R – рефлексивно. Можно доказать, что аксиома 4 (q  q) является тавтологией относительно F = (W, R), если и только если R транзитивно. Аксиома D(q  q) будет тавтологией относительно (W, R) тогда и только тогда, когда Dom R = W (т.е. tWuW (tRu)). Возникает вопрос о способе нахождения свойства шкал, относительно которых заданная формула является тавтологией. Опишем один из путей решения этой проблемы, принадлежащий Салквисту. С этой целью рассмотрим символы: 1, 0, &, , ,  как примитивные (не связанные между собой). Но А  В будет по-прежнему сокращением для формулы: (А & В).

Строго позитивными будем называть формулы: р, p, p, …, где р – атом. Позитивной называется формула, не использующая . Негативная формула – это отрицание некоторой позитивной формулы. Несвязной называется формула, полученная из негативных и строго позитивных формул с помощью операций & и . Формулой Салквиста называется отрицание некоторой несвязной формулы. Например:

формула р  р эквивалентна формуле Салквиста ([p] & [p]);

р  р – формуле Салквиста ([р] & [р])

и формуле Салквиста ([р] & [р]);

р  р – формулам Салквиста ([р] & [р]) и ([р] & [р]);

р  р – формуле Салквиста ([р] & [р]).

Однако (pp) не эквивалентна никакой формуле Салквиста.

Теорема Салквиста. В 1973 году Салквист установил, что каждой формуле Салквиста соответствует некоторое свойство шкалы. Перед формулировкой этой теоремы введём определения и докажем лемму.

Пусть F = (W, R) – шкала Крипке, и пусть h, h : P  P(W) – оценки. Полагая hh, если h(p)  h(p) для всех p  P, получим отношение порядка на множестве оценок. Если hh, то h называется сужением h, а h – расширением h.

Лемма. Пусть А – позитивная формула, F = (W, R) – шкала Крипке, h  h – оценки, t  W – произвольный мир. Тогда, если (W, R, h), t |= A, то (W, R, h), t |= A.

Доказательство. С помощью индукции по количеству логических связок и модальностей в формуле А. Для атомов р:

(W, R, h), t |= р  t  h(p)  t  h(p)  (W, R, h), t |= р.

Если А = 1, или А = 0, то утверждение справедливо. Случаи А & В и А  В проверяются легко. Случай А не возникает в силу позитивности формулы А. Докажем утверждение для А (аналогично для А), в предположении, что для А оно верно. Пусть (W, R, h), t |= А. Тогда для всех u  W, для которых tRu, будет верно (W, R, h), t |= А. Для А утверждение верно, значит, (W, R, h), t |= А. Следовательно, (W, R, h), t |= А, что и требовалось доказать.

Мы можем переводить модальные формулы в формулы языка первого порядка.

Пусть х – переменная. Переводом формулы А будет некоторая формула А*(х) языка первого порядка, имеющая не более одной свободной переменной и определённая по индукции:

1. атом р  Р переводится в р*(х), где р* – символ унарного отношения;

2. 1* = 1; 0* = 0;

3. (А)* = (А*);

4. (А & В)* = А* & В*; (А  В)* = А*  В*;

5. (А)*(х) = (y(xRy  A*(y)));

6. (А)*(х) = (y(xRy & A*(y))).

Здесь R – отношение доступности. Например:

(р  р)*(х) = (р & р)*(х) = (р*(х) & р*(х)) = (y(xRy  p*(y)) & р*(х));

( (p  q))*(x) = y(xRy  (p q)*(y)) = y(xRy  (p*(y)  z(yRz & q*(z)))).

Теорема (о соответствии Салквиста). Каждой формуле Салквиста А соответствует некоторое свойство первого порядка шкал Крипке. Шкала Крипке будет обладать этим свойством тогда и только тогда , когда А будет тавтологией относительно этой шкалы. Существует алгоритм получения этого свойства из формулы А.

Замечание. Салквист установил, что после добавления формулы Салквиста к системе K в качестве аксиомы получается корректная и полная формальная теория.

Доказательство теоремы. Пусть А – несвязная формула. Например:

А = (q & ([c] & [p])) & [p],

где р – позитивная формула. Здесь А построена из строго позитивных p, p, q и негативной c формул с помощью & и . Предположим, что А не является тавтологией относительно шкалы F = (W, R). Тогда существует модель (W, R, h) и мир tW такие, что M, t |= A. Для нашего примера:

M, t |= (q & (c & [p])) & [p].

Это означает, что существует схема из шести миров, соответствующих ромбикам, связанных с помощью путей в графе R с миром t. Для этих миров t_i справедливы утверждения: M, t_i |= B_i, где B_i – либо строго позитивные, как … р, либо негативные, как с.

Далее будем использовать префиксную форму записи R(x, y) для xRy. Таким образом, R(x, y) = 1, если и только если (x, y)  R.

Чтобы получить имена миров, будем использовать стандартный перевод А*(t). В нашем примере А*(t) будет утверждением о существовании миров t₁, …, t₆, удовлетворяющих следующим условиям:

R(t, t₁), R(t₁, t₂), R(t₁, t₃), R(t₃, t₄), R(t, t₅), R(t₅, t₆); M, t₂ |= q; M, t₃ |= с; M, t₄| = p; M, t₄ |= p.

По лемме, если мы ‘сузим’ h, сделав атомы истинными в меньшем подмножестве миров, то негативные формулы, например с, все останутся верными в их собственных мирах в схеме (в нашем примере в t₃). Существует наименьшая оценка h, которая сохраняет все полученные формулы истинными в их мирах. Можно доказать, что наименьшая оценка, делающая истинной А в мире t будет из тех, которые делают истинными все строго позитивные формулы … р в их мирах.

В нашем случае истинность р в мире t₄ означает, что в каждом мире, доступном за 2 шага из t₄, истинна формула р. Значит, р будет истинной для всех х, удовлетворяющих формуле:

y(R(t₄, y) & R(x, y)).

Аналогично р будет означать истинность р для таких х, что R(t₆, x). Формула q верна для всех таких х, что х = t₂. Таким образом, если мы сделаем p и q верными только в тех мирах, которые строятся по строго позитивным формулам, то А будет верным в мире t.

Эта интерпретация h называется ленивой. Она определяется с помощью формул языка первого порядка:

Мы делаем р истинным в мирах х тогда и только тогда, когда формула:

p*(x) = y(R(t₄, y) & R(y, x))  R(t₆, x)

истинна в шкале. А q истинна в x, если и только если x = t₂. Значит, q*(x) = (x = t₂).

Преобразуем далее формулу A*(t):

1. перемещаем кванторы t_i в начало формулы;

2. заменяем р*(х) нашим ленивым выражением y(R(t₄, y) & R(y, x))  R(t₆, x);

3. заменяем р*(y) на формулу z(R(t₄, z) & R(z, y))  R(t₆, y);

4. аналогично для подформул р*(z), р*(t), р*(t₄) и т.д.;

5. заменяем все q*(х) на x = t₂, q*(y) на y = t₂ и т.д.;

6. вместо ( … р)* подставляем 1.

Полученную в результате формулу обозначим: (t). Эквивалентны следующие свойства:

1. (W, R, h), t |= A для некоторых t  W и h;

2. (W, R, h), t |= A для некоторых t  W и t₁, …, t₆;

3. (W, R), t |= (t) для некоторого t  W (в смысле классической логики).

В этом случае формула А будет тавтологией относительно шкалы (W, R) тогда и только тогда, когда (W, R) |= t(t). Мы построили алгоритм, который каждой формуле А сопоставляет формулу (t), которой должна удовлетворять шкала (W, R).

Опишем шаги алгоритма Салквиста, сопоставляющего формуле А формулу t(t) для шкалы (W, R), относительно которой формула А будет тавтологией.

Будем предполагать, что А – формула Салквиста. Например, в случае

А = (р  р) = ([р] & [р])

на входе будет формула ([р] & [р]), а на выходе – формула x R(x, x).