Аксиомы pdl

Можно ожидать, что для любых формулы А и программы    формула <*>А, (означающая возможность того, что после кратного применения  машина перейдёт в состояние, удовлетворяющее формуле А), будет равносильна формуле А  <; *>А, (означающей, что верно А, или А будет, возможно, верно после применения  не менее, чем 1 раз). Получим аксиому:

<*>А  А  <; *> А.

Аналогично, исходя из других соображений, получаем аксиомы PDL и формальную теорию:

1. все тавтологии исчисления высказываний;

2. <>A & <>B  <>(A & B);

3. <>(A  B)  <>A  <>B);

4. <  >A  <>A  <>A;

5. < ; >A  <><>A;

6. <A?>B  A&B;

7. A  <><*>A  <*>A;

8. <*>A  A  <*> (A & <>A).

Аксиомы 1 – 3 стандартны для модальных логик. Аксиома 8 равносильна аксиоме Сегерберга:

[*](A  []A)  (A  [*]A)

и называется аксиомой PDL – индукции.

Правила вывода

; .

Для формальной теории PDL справедливы теорема корректности и полноты.

Логика Хоара

Как мы уже отмечали, логика Хоара предназначалась для дедуктивного доказательства правильности программ. Её формулами являются тройки {А}{В}, состоящие из предусловия А, программы  и постусловия В. Приведём форму записи, применяемой Хоаром, и её перевод на язык исчисления PDL:

skip	= 1?
fail	= 0?
if A then  else 	= (A? ; )  (A? ; )
if A1  1 |…| An  n fi	= (A1? ; 1)  …  (An? ; n)
do A   od	= (A1? ; )* ; (A)?
{A}{B}	= A  [] B

Форма {A}{B} называется тройкой Хоара. Логика Хоара является формальной теорией для вывода с помощью троек Хоара. Преобразуя аксиомы языка PDL, можно получить следующие правила вывода логики Хоара:

(композиция)

(условие)

(цикл)

(следствие).

6.4. Системы Гильберта

Опишем формальную теорию, которая называется системой K:

Аксиомы

1. Если А(Р₁, …, Р_n) – тавтология исчисления высказываний, а В₁, …, В_n – модальные формулы, то А(В₁, …, В_n) – аксиома системы K (пропозициональные тавтологии).

2. Для любых формул А и В формула (А  В)  (А  В) является аксиомой системы K (аксиома нормальности).

Правила вывода

; .

Формальная теория, содержащая систему K, называется системой Гильберта.

Строгие системы Гильберта

Добавляя аксиомы к системе K, получаем её усиления. Эти аксиомы соответствуют различным (указанным далее в квадратных скобках) свойствам шкал Крипке (речь о свойствах пойдёт далее):

Т: А  А [рефлексивность];

D: А  А [определённость всюду];

4: А  А [транзитивность];

В: А  А [симметричность];

5: А  А [с аксиомой Т – отношение эквивалентности].

Система К вместе с аксиомой Т обозначается через KТ или S. Такое определение записывается как:

S = K + {А  А}.

Аналогично, добавляя к K другие аксиомы, получаем следующие системы Гильберта:

K4 = K + {А  А };

S4 = K + {А  А, А  А};

S5 = K + {А  А, А  А}.

Выводимость. Пусть H – система Гильберта. (Согласно определению, она должна содержать аксиомы и правила вывода системы K).

Определение. Запись _HA означает, что существует последовательность формул А₁, …, А_n таких, что

1) A_n = A;

2) Каждая формула A_i является либо аксиомой системы H, либо получена аз некоторых формул последовательности A₁, …, A_i-1 с помощью правил вывода системы H.

В этом случае А называется теоремой в H, а последовательность A₁, …, A_n – выводом формулы (или доказательством теоремы) А. Число n называется длиной вывода (доказательства).

Пример 1

Последовательность:

A & B  A, (A & B  A), (A & B  A)  ((A & B)  A), (A & B)  A

является доказательством длины 4 теоремы (A & B)  A.