Упражнение 1

Следующие утверждения предлагается проверить самостоятельно:

9. M, t |= (А  В), если и только если M, t |= А & В;

10. M, t |= А, если и только если M, t |= А;

11. M, t |= А, если и только если M, t |= А.

Упражнение 2

Пусть p, q  P. Рассмотрим модель M = (W, R, h), где W = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 5), (5, 4), (4, 4), (4, 3)}, h(p) = {1, 2, 5}, h(q) = {1, 3, 4} и h(r) =  для всех r  {p, q}.

(Высказывание р верно в мирах 1, 2 и 5; q – в 1, 3 и 4). Проверить утверждения:

1. р верно в 1 и 3, ложно в 4;

2. р верно в 3, 0 верно в 3;

3. q & q верно в 1, q ложно в 1;

4. q, q оба верны в 2, ибо только 3 доступно из 2;

5. 1  q верно во всех мирах, т.е. эта формула – тавтология модели М.

Семантика темпоральной логики

Понятие модели Крипке (W, R, h) такое же, как для модальной логики. Определяется истинность формул [F]А и [P]А, вместо А.

Если tRu, то говорят, что t – прошлое для u, а u – будущее для t. (Напомним, что tRu означает (t, u)  R.)

Обычно отношение R предполагается транзитивным в том смысле, что из tRu и uRv следует: tRv (исключением являются шкалы с циклическим временем). Утверждения для интерпретации А заменяются на следующие:

1. M, t |= [F]А, если и только если M, u |= А для всех u  W таких, что tRu.

2. M, t |= [P]А, если и только если M, u |= А для всех u  W таких, что uRt.

Упражнение 3

Доказать утверждения:

1. M, t |= <F>А, если и только если существует u  W такой, что tRu и M, u |= А.

2. M, t |= <P>А, если и только если существует такой u  W, что uRt и M, u |= А.

Тавтологии

Будем рассматривать тавтологии относительно семантики Крипке. Формула А называется тавтологией если M, t |= А для любых модели M = (W, R, h) и мира t  W. Формула А называется выполнимой, если существуют такие модель М и мир t, что M, t |= А. Формулы А и В называются эквивалентными, если для любых модели М и мира t утверждение M, t |= А равносильно утверждению M, t |= В.

Упражнение 4

Доказать утверждения:

1. А тавтология, если и только если А невыполнимо;

2. А выполнимо, если и только если А не тавтология;

3. А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда А  В – тавтология.

4. тавтологии и исчисления высказываний являются тавтологиями модальной логики;

5. А эквивалентно А;

6.  (А  В) эквивалентно (А & В).

Теорема (о нормальности). Для любых формул А и В имеет место тавтология:

(А  В)  (А  В).

Доказательство. Пусть M = (W, R, h) – модель Крипке, t  W – мир. Предположим выполнение M, t |= (А  В). Докажем, что А  В верно в мире t. С этой целью докажем, что из M, t |= А следует M, t |= В. Пусть u  W – мир, для которого (t, u)  R. Если верно M, t |= А, то M, u |= А. По предположению, M, t |= |= (А  В), значит, M, u |= А  В. Получаем из M, u |= А и M, u |= А  В, что M, u |= |= В. Теорема доказана.

Условные тавтологии

Чтобы охватить формулы, верные при дополнительных условиях (аксиомах), рассматриваются модели с фиксированной шкалой или набором шкал.

Формула А называется верной в модели M = (W, R, h), если она верна для всех tW. Формула А называется тавтологией относительно шкалы, если она верна для любой модели с данной шкалой. Формула А называется тавтологией относительно класса шкал С, если она является тавтологией относительной каждой шкалы из класса С.

Теорема (о рефлексии). Пусть р – атом. Формула р  р является тавтологией относительно шкалы (W, R), если и только если R – рефлексивное отношение (т.е. wRw для всех w  W).

Доказательство. Пусть R – рефлексивно. Пусть М – модель со шкалой (W, R), tW – произвольный мир и пусть M, t |= р  р. Поскольку модель М – произвольная, то р  р – тавтология относительно шкалы (W, R).

Пусть, наоборот, р  р – тавтология относительно (W, R). Пусть t  W. Докажем, что (t, t)  R. С этой целью определим модель М = (W, R, h), полагая (при фиксированном t)

h(p) = {u  W : (t, u)  R}.

Ясно, что M, t |= р. Но р  р верно, стало быть, M, t |= р. Отсюда t  h(p). Следовательно, (t, t)  R, что и требовалось доказать.