6.2. Семантика модальной логики

Под семантикой понимается метод интерпретаций формул как истинных или ложных. Поскольку слова можно толковать по-разному, то выделяются семантики, удовлетворяющие дополнительным условиям. В частности, выделяются семантики, для которых истинна формула:

(p  q)  (p  q).

Такие семантики относятся к нормальным. Рассмотрим одну из них.

Семантика Крипке

Рассматривается множество миров. Модальное высказывание А считается истинным, если А истинно в некоторых из возможных миров. Истинность обычных формул измеряется по отношению к текущему миру. (Идея принадлежит Лейбницу, и была разработана Сеулом Крипке).

Возьмём произвольное множество W; его элементы будем называть мирами или состояниями. Рассмотрим произвольное бинарное отношение R на W. Если значение предиката R(t, w) равно 1, то w называется возможным или доступным миром для t.

Определение. Пара множеств (W, R), где W – непустое множество, а RWW – бинарное отношение на W, называется шкалой Крипке. Отношение R называется отношением доступности.

Пример 1

Пусть W = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 5), (5, 4), (4, 4), (4, 3)}. Шкалу Крипке (W, R) можно рассматривать как ориентированный граф, вершинами которого служат элементы из W, а рёбрами – пары, принадлежащие R. Например, для мира 1 будут доступны миры 1, 2 и 5, ибо (1, 1), (1, 2) и (1, 5) принадлежат R.

Пример 2

Каждое частично упорядоченное множество (Х, ) будет шкалой Крипке, имеющей множество миров Х и отношение доступности . В частности, N = (, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) – множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, с обычным отношением порядка будут составлять шкалы Крипке.

Пример 3

Существуют шкалы с циклами, например, W = {1, 2, 3, 4} с отношением R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}.

Можно привести искусственные примеры, такие, как шкала рекурсии Макинсона (, R), где R состоит из пар (m, n), для которых m  n + 1.

Модели Крипке

Чтобы задать интерпретацию модальных формул, надо задать функцию на атомах (из P). Значения этой функции зависят также от состояний. Оценкой называется функция h: P  P(W), определённая на множестве всех атомов и принимающая значения во множестве всех подмножеств множества W. Атом p называется истинным в мире w, если w  h(p), и ложным в других случаях.

Тройка (W, R, h) называется моделью Крипке. Шкала Крипке может быть превращена в модели Крипке в зависимости от функции оценки h.

Пусть М = (W, R, h) – модель Крипке. Для формулы А и мира t  W определим утверждение M, t |= A с помощью индукции:

1. если р – атом, то M, t |= р тогда и только тогда, когда t  h(p);

2. M, t |= 1 (всегда);

3. M, t |= А тогда и только тогда, когда утверждение M, t |= А ложно;

4. M, t |= А & В тогда и только тогда, когда M, t |= А и M, t |= В;

5. M, t |= А тогда и только тогда, когда М, u |= А для всех таких u  W, что tRu.

Запись: tRu означает, что (t, u)  R. Выражение M, t |= А читается: «М удовлетворяет в мире t формуле А», или «формула А выполняется в мире t для модели М». Другие обозначения: М |= А(t), М |=_t А, .

Легко видеть, что имеют место утверждения, дополняющие свойства 1 – 5:

6. M, t |= А  В, если и только если M, t |= А или M, t |= В;

7. M, t |= (А  В) если и только если из M, t |= А следует, что M, t |= В;

8. M, t |= А, если и только если M, t |= А для некоторого u  W такого, что tRu.