10. Кригинг

Методы интерполяции «Обратно взвешенного расстояния (ОВР)» и «Сплайна» называют детерминистическими методами интерполяции, поскольку они непосредственно опираются на окружающие измеренные значения или на заданные математические формулы, определяющие гладкость итоговой поверхности. Вторая группа методов интерполяции состоит из геостатистических методов (таких, как Кригинг), основанных на геомоделях, включающих самокорреляцию (статистическая взаимосвязь между измеренными точками). Поэтому такая технология позволяет не только получить расчетную поверхность, но также определить значение точности или достоверности расчета.

«Кригинг» похож на ОВР в том, что он учитывает вес окружающих измеренных значений для того, чтобы определить расчетное значение для ячейки, в которой не было данных. Общая формула для обеих интерполяций представляет собой суммирование данных с учетом веса.

Для расчетов по методу Кригинга необходимо следующее: 1 ‑ нужно выявить правила зависимости, 2 ‑ вычислить предполагаемое значение. Для решения этих задач Кригинг выполняет двухшаговый процесс: (1) создаются вариограммы и ковариационные функции для оценки значений статистических зависимостей (называемых пространственной автокорреляцией), которые зависят от модели автокорреляции (модели согласования), и (2) определяются предполагаемые значения пустых ячеек. Из-за такого явного разделения задачи на две говорят, что Кригинг использует данные дважды: первый раз для оценки пространственной автокорреляции данных и второй раз для вычислений значений.

1. Вариография

Построение модели, или пространственное моделирование, также называется структурным анализом или вариографией. При пространственном моделировании структуры точек замеров мы начинаем с кривой эмпирической вариограммы, вычисляемой по приведенной формуле.

Вариограмма (расстояние h) = 0.5*среднее[ (значение в точке i – значение в точке j)²],

для всех пар точек разделенных расстоянием h.

Формула включает вычисление квадрата разницы между значениями в паре точек. На рисунке дальше показано образование пар заданной точки (красной) со всеми остальными точками замеров. Эта процедура выполняется для каждой точки замера.

Рисунок 2.33 – Пример вычисления вариограммы.

Часто расстояние для каждой пары точек уникально, и часто этих пар много. Быстрое построение графика этих точек становится нереальным. Вместо работы с каждой точкой точки объединяются в интервальные группы (лаги). Например, вычисление средней вариантности всех точек, расположенных на расстоянии больше 40 метров и меньше 50 метров. Эмпирическая вариограмма ‑ это график средних значений вариограммы на оси у и расстояния (или интервала) на оси х.

Пространственная автокорреляция реализует основной принцип географии - близкие объекты более похожи, чем удаленные. Таким образом, пары более близких точек (в левой части оси х графика точек вариограммы) должны иметь более близкие значения (находиться внизу оси у графика точек вариограммы ). Если точки пары удалены друг от друга (правее на оси х), они должны различаться сильнее, и квадрат их разницы должен быть больше (выше по оси у).