6. Направленность линейных и площадных объектов

Линейные объекты могут характеризоваться не только распределением по ландшафту, но и ориентацией. Такие объекты как осадочные напластования, русла ледников, переносимая водой галька, цепи валунов, оставленные ледниками, ограждения, сети улиц, ветровал деревьев в лесу имеют определенную ориентацию, которая часто указывает на породившую их силу.

Но когда мы анализируем ориентацию, у нас может возникнуть ситуация выбора между двумя встречными направлениями. Если линейный объект является улицей с односторонним движением, то ориентация ее самой не говорит нам о направлении, в котором должен двигаться транспорт. Поэтому, кроме ориентации нам нужно знать и о направленности. Мы можем также рассматривать распределения линейных объектов либо как двухмерные, либо как трехмерные, с учетом углового направления относительно поверхности сферы.

В традиционном статистическом анализе ориентации линий с карты переносятся на диаграмму направлений, где все они прочерчиваются из одной начальной точки. На некоторых диаграммах направлений длиной линий также изображают параметры объектов, такие как сила ветра или длина изгороди. Диаграммы направлений полезны для визуальной оценки, но измерения, получаемые непосредственно по данным покрытия больше подходят для численного анализа. Рассмотрим равнодействующий вектор. В качестве примера можно вспомнить басню про лебедя, рака и щуку. Зная силы и направления, приложенные к возу, можно определить, в какую сторону и с каким ускорением объект начнет движение.

Для демонстрации двухмерного анализа направлений возьмём большое количество деревьев, поваленных прямолинейным ветром. Каждое дерево может быть отображено как линейный объект покрытия, при этом записываются координаты вершины и основания каждого дерева, давая нам ориентацию каждого дерева.

Метеорологи хотят выяснить общее направление ветра по поваленным деревьям, но эти деревья не имеют единой для всех ориентации, поэтому нашей первой задачей является определение равнодействующего вектора поваленных деревьев.

С каждым деревом ассоциируется вектор с началом в основании дерева и углом Q в сторону вершины. Мы умножаем длину каждого дерева на косинус этого угла для получения Х-составляющей, а также на синус этого угла для получения Y-составляющей. Для вычисления равнодействующего вектора мы складываем эти величины для каждой составляющей, и полученные значения равнодействующего вектора Х_r и Y_r. показывают преобладающее направление вершинных точек деревьев в ветровале. Равнодействующий вектор R, получается из трех векторов А, В и С.

Мы можем определить среднее направление Q исходя из равнодействующего вектора по формуле: Q = arctan (Y_r/X_r).

Так как среднее направление наших векторов зависит не только от разброса деревьев, но и от числа наблюдений, мы можем нормализовать эти величины делением координат каждого равнодействующего вектора на число линейных объектов покрытия. Это позволит нам сравнивать две различные области, например, две области ветровала на предмет общего направления ветра.

Как и с любым набором точек, где средняя величина служит мерой центральной тенденции данных или тенденции данных группироваться вокруг некоторой центральной точки, мы можем использовать среднее для получения других статистических показателей, которые определяют разброс от среднего. Когда векторы расположены близко к одному направлению, равнодействующий вектор будет длинным, в то время как при широко разбросанных исходных векторах - значительно более коротким. В нашем примере из басни это выглядит как сложение усилий участников в общем направлении или же скорее противодействие друг другу, приводящее к существенно меньшей равнодействующей силе, прилагаемой к возу.

Длина равнодействующего вектора может быть определена по формуле: R = (X_r²+Y_r²)^-2.

Таким образом, мы имеем не только среднее направление лесовала, но и меру компактности распределения: чем компактнее распределение, тем длиннее эта линия.

Для сравнения длины равнодействующего вектора в данном месте с другим местом, нам следует, опять же, нормализовать данные. Нормализованная длина равнодействующего вектора получается делением длины равнодействующего вектора R на сумму длин образующих его векторов.

Это безразмерная величина в диапазоне от 0 до 1, напоминающая дисперсию в традиционной статистике, так как является мерой пространственного разброса вокруг среднего значения. Правда, она выражает этот разброс "наоборот": большие значения соответствуют более близкой ориентации векторов, меньшие - большему разбросу. Таким образом, большое значение этого показателя в нашем примере с деревьями означало бы значительное преобладание одного из направлений ветра, а малое значение говорило бы о наличии завихрений или отсутствии явно преобладающего направления. Наряду с самой этой величиной можно использовать также и обратную ей величину, называемую круговой дисперсией, которая равна единице минус нормализованная длина равнодействующего вектора. Если вы интересуетесь статистикой, то можете увидеть возможность существования дирекционных аналогов стандартного отклонения, моды и медианы, для которых также имеются соответствующие формулы.

Эти простые меры направленности и разброса могут быть проверены на случайность и наличие тренда стандартными процедурами проверки статистических гипотез. С дирекционными данными покрытия могут сравниваться аналогичные данные других покрытий.

В контексте ГИС, данные меры главным образом помогают охарактеризовать распределения внутри покрытия и сравнения их с данными других покрытий в поисках причинных механизмов. Растровые ГИС плохо приспособлены для данного типа анализа, но большинство векторно-топологических систем позволяют определить, по меньшей мере, некоторые предварительные значения (например, углы отрезков полилиний), которые могут храниться в БД ГИС как атрибуты и передаваться другим программам для обработки, если сам ГИС-пакет не способен вычислять средние показатели направленности.