Принцип Остроградського – Гамільтона

Розглянемо механічну систему, яка складається з точок і на яку накладені ідеальні в’язі. Нехай в момент часу положення системи визначається узагальненими координатами, або деякою точкою -вимірного простору. В момент часу положення системи буде визначатися точкою цього простору. З положення в положення система переходить, рухаючись по деякій траєкторії -вимірного простору. Це дійсна траєкторія руху механічної системи. Але з положення в положення система може перейти і по іншим шляхам, нескінченно близькими до дійсного. З усієї сукупності можливих траєкторій руху вибрати дійсну дає можливість інтегральний варіаційний принцип найменшої дії (принцип Остроградського – Гамільтона).

Загальне рівняння динаміки має вигляд або , де – робота зовнішніх активних сил на віртуальному переміщенні системи.

Перетворимо скалярний добуток . Звідки маємо або остаточно . Тоді загальне рівняння динаміки:

. (12.1)

Проінтегруємо отриманий вираз по часу в межах від до : . Обмежимо довільність вибору траєкторій порівняння умовою їх перетину із траєкторією дійсного руху в моменти часу і , тобто, щоб при і при виконувалось (). Тоді матимемо

. (12.2)

Рівняння (12.2) виражає принцип Остроградського-Гамільтона як для консервативних, так і для неконсервативних механічних систем.

Так як , де – робота консервативних зовнішніх сил, – робота неконсервативних сил, а , то (12.2) прийме вигляд:

. (12.3)

У випадку консервативної системи і (12.3) запишеться наступним чином:

або . (12.4)

Криволінійний інтеграл називається дією по Гамільтону. Тоді рівняння (12.4) можна записати:

(12.5)

Тобто, згідно принципу Остроградського-Гамільтона, дійсний рух консервативної механічної системи за фіксований проміжок часу від і буде відбуватися по тій траєкторії, на якій дія по Гамільтону буде мати стаціонарне значення.