Зв’язок узагальнених величин із звичайними

Нехай механічна система складається з матеріальних точок і має ступенів вільності. За узагальнені координати візьмемо , , ..., . При русі механічної системи її узагальнені координати будуть неперервно змінюватися з часом:

, , ..., . (11.19)

Остільки узагальнені координати між собою незалежні, то незалежними між собою будуть і їх елементарні прирости , , ..., . Похідні по часу від узагальнених координат називаються узагальненими швидкостями системи: , , ..., .

Радіус-вектор , який визначає положення -ої точки системи з ступенями вільності, у випадку стаціонарних в’язей є функцією узагальнених координат

. (11.20)

Можливе переміщення точки виражається варіацією радіус-вектора:

, (11.21)

де , , ..., – узагальнені можливі переміщення, тобто варіації узагальнених координат. Маємо зв’язок варіації радіус-вектора та варіацій узагальнених координат або зв’язок можливого звичайного переміщення з узагальненими можливими.

Швидкість цієї точки дорівнює

. (11.22)

Маємо зв’язок звичайної швидкості та узагальнених швидкостей.

Леми Лагранжа

Звернемось до виразу (11.22). Продиференціюємо його по узагальненій швидкості , отримаємо першу тотожність Лагранжа: частинна похідна по узагальненій швидкості від звичайної швидкості дорівнює частинній похідній по узагальненій координаті від радіуса-вектора.

, . (11.23)

Продиференціюємо по часу, маємо . Продиференціюємо вираз (11.22) по узагальненій координаті , отримаємо . Порівнюючи вирази, маємо другу тотожність Лагранжа: знак повної похідної за часом можна вносити і виносити за знак частинної похідної по узагальненій координаті.

або . (11.24)

Рівняння Лагранжа другого роду

Нехай до матеріальних точок механічної системи прикладені активні сили , ..., , і під дією цих сил точки системи рухаються з прискореннями , ..., . Запишемо загальне рівняння динаміки . Підставимо вираз можливого звичайного переміщення через узагальнені можливі переміщення , отримаємо .

Так як узагальнені можливі переміщення , , ..., незалежні між собою змінні, то одночасно всі не можуть дорівнювати нулю. Це означає, що в записаному рівнянні всі вирази в квадратних дужках одночасно повинні дорівнювати нулю. Маємо , . Звідси , . Введемо позначення

, (11.25)

де – узагальнена сила, яка відповідає узагальненій координаті . Тоді маємо

, . (11.26)

Запишемо формулу диференціювання скалярного добутку двох векторів і : . Звідси .

Якщо прийняти за вектор швидкості , а за – вектор , то (11.26) перепишемо , .

Використавши леми Лагранжа, отримаємо , . Зробимо деякі перетворення , . Вираз є кінетичною енергією механічної системи. Остаточно маємо

, . (11.27)

Це рівняння Лагранжа другого роду, що утворюють систему звичайних диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат. Кількість рівнянь Лагранжа дорівнює кількості узагальнених координат.

Переваги метода Лагранжа над методом Ньютона: скалярна форма; рівняння не пов’язані з вибором системи відліку; універсальність.

Алгоритм використання метода Лагранжа

1. встановити число ступенів вільності і вибрати узагальнені координати;

2. скласти вираз для кінетичної енергії як функції і ;

3. визначити похідні кінетичної енергії по та по ;

4. визначити узагальнені сили як коефіцієнти при відповідних можливих узагальнених переміщеннях з виразу ;

5. скласти систему рівнянь і розв’язати.

Рух системи в консервативному силовому полі

Нехай активні сили, прикладені до точок системи, утворюють потенціальне силове поле, тобто і . Потенціальна енергія – функція положення, а отже і узагальнених координат , тоді . Отже, формула зв’язку узагальненої сили з потенціальною енергією

, . (11.28)

Рівняння Лагранжа приймуть вигляд , .

Зауваживши, що потенціальна енергія не залежить від узагальнених швидкостей, перепишемо вираз у наступному вигляді , . Різниця кінетичної і потенціальної енергій називається функцією Лагранжа

. (11.29)

Це характеристична функція механічного стану голономної механічної системи з потенціальними силами. Отже,

, . (11.30)

Якщо, крім активних сил, що визначаються функцією , на точки системи діють сили, які цією функцією не можуть бути визначені, наприклад сили опору різного фізичного походження, то рівняння Лагранжа другого роду можна представити в наступній формі:

, . (11.31)

У правих частинах знаходяться узагальнені сили, що не визначаються функцією .