Можливі переміщення механічної системи
Можливим, або віртуальним, переміщенням невільної механічної системи називається таке елементарне переміщення її точок, яке допускають у даний момент часу в’язі системи.
На відміну від дійсного елементарного переміщення, яке відбувається за нескінченно малий проміжок часу й обумовлене діючими силами і накладеними на систему в’язями, можливе переміщення системи зумовлене тільки в’язями, які обмежують її положення в даний момент часу.
Дійсне
нескінченно мале переміщення
точки будемо позначати через
або
,
а
можливе –
через
або
.
Проекції
дійсного
елементарного переміщення на
декартові координатні осі позначимо
через
,
,
,
a
можливого
– через
,
,
.
Для випадку стаціонарних в’язей дійсне переміщення є одним із множини можливих переміщень. А у випадку нестаціонарних в’язей дійсні переміщення не входять у число можливих переміщень механічної системи.
Узагальнені координати. Кількість ступенів вільності руху
У загальному випадку механічна система може мати декілька, а можливо нескінченно багато, можливих переміщень. Внаслідок в’язей, які накладені на механічну систему не всі можливі переміщення є незалежними.
Незалежні параметри, за допомогою яких однозначно знаходяться положення всіх точок механічної системи, називаються узагальненими координатами цієї механічної системи.
Кількість незалежних між собою можливих переміщень, що їх у певний фіксований момент часу можна надати матеріальним точкам системи, називається числом ступенів вільності руху системи.
Число
ступенів вільності механічної системи
з
точок, дорівнює
, (11.5)
де
– число геометричних в’язей,
число кінематичних в’язей.
Нехай
механічна система має
ступенів вільності руху. Позначимо
узагальнені координати через
,
,
...,
,
тоді декартові координати
будь-якої
точки
цієї системи при наявності голономних
стаціонарних
в’язей є функціями цих узагальнених
координат
,
,
.
При
наявності нестаціонарних в’язей
декартові координати точок механічної
системи є функціями узагальнених
координат
,
,
...,
і
часу
.
Елементарна робота сили на можливому переміщенні. Ідеальна в’язь
Елементарна
робота сили
на можливому переміщенні
точки
знаходиться із скалярного добутку
(11.6)
Формулу (11.6) можна переписати в іншому вигляді
. (11.7)
Силу
можна записати у вигляді
,
де
,
,
– проекції сили на координатні осі. Так
як
,
то варіація радіуса-вектора або можливе
переміщення
рівне
,
де
,
,
–
проекції
можливого переміщення на осі координат
(варіації
координат).
Тоді аналітичний
вираз для
елементарної роботи
. (11.8)
Формули (11.6) – (11.8) записані для однієї точки.
Нехай
система складається з
матеріальних точок, на які діють сили
,
,
...,
.
Повторюючи
ті ж самі формули для кожної з точок
системи, ми будемо
мати рівності вигляду (11.6)
– (11.8) для
всіх точок системи. Складаючи їх почленно,
отримаємо
для всієї системи наступну рівність:
. (11.9)
У
подальшому роботу
всіх сил, які діють на систему, на можливих
переміщеннях цієї системи будемо
називати можливою роботою.
Якщо сума елементарних робіт реакцій в’язей на всіх можливих переміщеннях точок системи дорівнює нулю, то в’язі – ідеальні
, (11.10)
де
– реакція в’язі, яка діє на
-ту
точку системи;
– кількість матеріальних точок у
механічній системі;
– можливе переміщення
-ої
точки
системи.
Ідеальними в’язями є гладкі площини, лінії, поверхні, абсолютно тверді тіла. Шорсткі і неабсолютно тверді поверхні – це неідеальні в’язі, тому що в цьому випадку з’являються сили тертя ковзання або моменти тертя кочення.
Принцип можливих переміщень
Нехай
механічна система складається з
матеріальних точок, має ідеальні
стаціонарні утримуючі в’язі і під дією
сил, які прикладені до точок системи,
знаходиться у рівновазі.
Розглянемо
рівновагу
-ої
точки системи. На цю точку діє активна
сила
і реакція в’язі
.
Запишемо умову рівноваги
-ої
точки
,
.
Помножимо
скалярно цю рівність на будь-яке можливе
переміщення цієї
точки
,
.
Остання
рівність записана для кожної з точок
механічної системи. Щоб
цю рівність записати для механічної
системи, необхідно просумувати вирази
для всіх точок системи.
Порівнюючи
другий доданок з виразом (11.10) для
ідеальної в’язі, маємо
. (11.11)
Вираз (11.11) є математичним записом принципу можливих переміщень: якщо механічна система з ідеальними стаціонарними утримуючими в’язями знаходиться в рівновазі, то сума елементарних робіт всіх активних сил, прикладених до механічної системи, на будь-якому можливому приміщенні системи дорівнює нулю.
Крім виразу (11.11), принцип можливих переміщень можна записати
, (11.12)
. (11.13)
Якщо
елементарну роботу сили
на можливому переміщенню
позначити через
,
то рівність, яка виражає принцип можливих
переміщень:
. (11.14)
У випадку, коли на елементи механічної системи діють моменти, і при цьому система виконує обертальний рух, то принцип можливих переміщень запишеться у вигляді
, (11.15)
де
–
момент
сили, що діє на
-ий
елемент системи;
–
можливий
кут повороту
-го
елемента системи.