Тема 11. Аналітична механіка

Вступ в аналітичну механіку

Використання загальних теорем динаміки пов’язане з рядом труднощів. По-перше, практично неможливо вказати, в якому випадку яка теорема більш ефективна. По-друге, при розв’язуванні задач часто приходиться розчленовувати механічну систему, що приводить до появи нових невідомих (реакцій в’язей), визначення яких не завжди потрібно за умовою задачі.

Аналітична механіка дає загальні методи, за допомогою яких можна розв’язати задачу, не визначаючи без необхідності реакцій в’язей. Особливо проявляються переваги методів аналітичної механіки при розв’язуванні задач для механічних систем з декількома ступенями вільності.

В’язі і їх класифікація

Система матеріальних точок називається вільною, якщо точки системи в будь-який момент часу можуть займати довільне положення і мати довільну швидкість.

Прикладом вільної системи матеріальних точок є Сонячна планетна система. Положення і швидкості планет і Сонця нічим не обмежені.

Якщо внаслідок якихось обмежень (умов) матеріальні точки механічної системи не можуть займати в просторі будь-яке положення і мати довільні швидкості, то така механічна система невільна.

Колінчатий вал, система блоків – приклади невільної системи матеріальних точок.

Рух невільної механічної системи підкоряється деяким обмеженням, що задані наперед і не залежать від початкових умов, прикладених сил та інших умов руху. Ці обмеження називається в’язями.

Всі сили, які діють на невільну механічну систему, поділяються на активні сили (викликають або прагнуть викликати рух) і реакції в’язей.

Як зовнішні, так і внутрішні сили можуть бути як активними, так і в’язями.

В динаміці механічної системи використовується аксіома про в’язі: будь-яку невільну систему можна розглядати як вільну, якщо умовно відкинути в’язі, а замість них прикласти сили реакції в’язей.

В’язі діляться на геометричні і кінематичні. Геометричні в’язі обмежують положення точок системи. Кінематичні в’язі накладають обмеження на швидкості точок системи.

Математично в’язі можуть бути виражені рівняннями або нерівностями, в які входять час, координати точок системи і їх похідні по часу. Для механічної системи з точок і має одну в’язь, її можна записати

. (11.1)

В подальшому будемо писати скорочено

, (11.2)

де , , – координати -ої точки механічної системи; , , – проекції швидкості -ої точки на осі декартової системи координат.

У випадку знаку рівності у виразі (11.1) в’язь утримуюча або двостороння; якщо стоїть знак нерівності, то в’язь неутримуюча або одностороння.

Розглянемо дві матеріальні точки і , які з’єднані між собою абсолютно твердим стержнем довжиною . Стержень для вказаних точок є двосторонньою в’яззю, тому що координати точок задовольняють рівняння

. (11.3)

Якщо ж точки і з’єднані гнучкою ниткою довжиною , яка не розтягується, то координати точок будуть задовольняти нерівності

, (11.4)

і, отже, нитка є односторонньою в’яззю для системи цих точок.

Якщо в рівняння в’язі явно не входить час , то вона стаціонарна.

Якщо в рівняння в’язі явно не входить швидкість, то в’язь називається голономною. Якщо ж рівняння в’язі явно залежить від швидкості, то в’язь називається неголономною. Надалі розглядаємо лише голономні в’язі.