Принцип д’Аламбера для матеріальної точки

Метод розв’язування задач динаміки, в основі якого лежить принцип Германа – Ейлера – Д’Аламбера (або просто принцип Д’Аламбера) називається кінетостатикою. Це формальний прийом зведення рівняння динаміки до рівняння статики.

На точку діють дві сили: активна сила і реакція в’язі . Використаємо другий закон Ньютона

. (10.14)

Вираз (10.14) запишемо у вигляді . Введемо позначення

. (10.15)

Сила називається силою інерції, що по модулю дорівнює добутку маси точки на її прискорення і напрямлена в протилежну сторону вектору прискорення.

З використанням позначення (10.15), маємо

. (10.16)

Вираз (10.16) є принципом Д’Аламбера для матеріальної точки: в кожний момент руху матеріальної точки векторна сума активної сили, реакції в’язі та умовно прикладеної сили інерції дорівнює нулю.

Принцип д’Аламбера для механічної системи

Нехай механічна система складається з матеріальних точок, на яку діють зовнішні сили , ..., , внутрішні сили , ..., і реакції в’язей , ..., . Під дією цих сил точки системи рухаються з прискореннями , ..., . Використаємо принцип Д’Аламбера до кожної точки системи, для цього умовно приєднаємо сили інерції:

, . (10.17)

Для вивчення руху механічної системи додамо рівняння для всіх точок системи

.

Цей вираз перепишемо у вигляді

, (10.18)

де – головний вектор зовнішніх сил; – головний вектор внутрішніх сил; – головний вектор реакцій в’язей; – головний вектор сил інерції, що дорівнює

. (10.19)

В кожний момент руху механічної системи геометрична сума головних векторів зовнішніх сил, реакцій в’язей і умовно прикладних сил інерції рівна нулю.

Виберемо в просторі довільну точку і проведемо радіуси-вектори до кожної точки механічної системи. Вираз (10.17) помножимо векторно зліва на радіус-вектор і додамо рівняння для всіх точок системи. Отримаємо

.

Останній вираз перепишемо у такому вигляді

, (10.20)

де – головний момент зовнішніх сил відносно центра ; – головний момент внутрішніх сил відносно центра ; – головний момент реакцій в’язей відносно центра ; – головний момент сил інерції відносно центра , що дорівнює

. (10.21)

В кожний момент руху геометрична сума головних моментів зовнішніх сил, реакцій в’язей і умовно приєднаних сил інерції відносно будь-якого центра дорівнює нулю.

Обчислення сил інерції твердого тіла при різних випадках його руху

Як і всяку систему сил, сили інерції можна привести до головного вектора сил інерції і головного моменту сил інерції.

Тверде тіло виконує поступальний рух

При поступальному русі тіла всі його точки рухаються з однаковими прискореннями рівними прискорення центра мас тіла . Тоді головний вектор сил інерції буде , де – маса всього тіла. Головний вектор сил інерції рівний добутку маси тіла на прискорення центра мас тіла, прикладений в центрі мас і напрямлений протилежно вектору прискорення центра мас.

Головний момент сил інерції при поступальному русі твердого тіла відносно центра мас тіла дорівнює , бо , так як радіуси-вектори проведені з центра мас . Отже, головний момент сил інерції при поступальному русі тіла дорівнює нулю.

Тверде тіло виконує обертальний рух

Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі , яка проходить через центр мас тіла перпендикулярно площині симетрії тіла, з кутовою швидкістю і кутовим прискоренням .

Візьмемо точку . Для цієї точки є симетрична точка відносно площини симетрії . Замінимо сили інерції i , прикладені до точок i , однією з точкою прикладання , яка лежить у площині симетрії . Так всі сили інерції тіла можна перевести в площину симетрії.

В площині симетрії знаходиться центр мас тіла з прискоренням . Отже, головний вектор сил інерції дорівнює нулю .

Розкладемо силу інерції на дотичну і нормальну складові . Дотична складова і , нормальна складова і .

Кожній точці в площині є відносно центра симетрична точка , в якій є сили інерції i , причому , .

Головний момент нормальних сил інерції дорівнює нулю, так як сили інерції і однакові і діють по одній прямій в протилежні сторони.

Сили інерції і складають пару сил. Головний момент дотичних сил інерції відносно центра мас тіла буде .

При обертанні твердого тіла відносно осі, яка проходить через центр мас тіла перпендикулярно площині симетрії, головний вектор сил інерції (інерціальний момент) дорівнює нулю, а головний момент сил інерції за модулем дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення тіла, і напрямлений протилежно кутовому прискоренню.

Тверде тіло виконує плоский рух

Плоский рух тіла можна розкласти на поступальний рух тіла разом з центром мас і обертальний рух навколо центра мас. Тому сили інерції можна привести до головного вектора сил інерції і головного моменту сил інерції: і .