- •Пояснительная записка
- •Математическая обработка результатов измерений
- •1. Погрешности результатов измерений
- •2. Оценка точности результатов одного прямого измерения
- •3. Математическая обработка результатов измерений при наличии только случайных ошибок
- •4. Оценка точности косвенных измерений
- •5. Основные определения теории приближенных вычислений
- •Правила действий над приближенными числами
- •6. Графическое представление результатов опыта
- •7. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов
- •8. Основные требования, предъявляемые к студенту при выполнении эксперимента и обработке результатов измерений
- •Измерения
- •Запись результатов измерений
- •Оформление работ
- •Лабораторная работа № 1 изучение законов динамики на машине атвуда
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа №2 изучение колебательного движенияс помощью математического маятника
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 изучение физического маятника
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 4 определение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 5 определение скорости движения тела баллистическим методом с помощью унифилярного подвеса
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 6 изучение деформации растяжения
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 7 определение момента инерции и проверка теоремы гюйгенса-штейнера методом крутильных колебаний
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 8 определение момента инерции махового колеса и момента силы трения в опоре
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 9 изучение вращательного движения твердого тела
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа №10 изучение закономерностей упругого и неупругого соударения тел
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 11 определение коэффициентов трения качения и трения скольжения с помощью наклонного маятника
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 12 определение модуля юнга методом изгиба
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 13 определение скорости полета пули методом баллистического маятника
- •Идея эксперимента
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 14 определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 15 изучение плоского движения твердого тела на примере маятника максвелла
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 16 изучение гироскопа
- •Теоретическая часть
- •Экспериментальная установка
- •Методика проведения эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Приложения
- •Содержание
Лабораторная работа № 12 определение модуля юнга методом изгиба
Цель работы – изучение упругих деформаций различных материалов.
Теоретическая часть
Деформация сдвига
|
Рис. 31. |
,
где τ – касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная G называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.
Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание AD (рис. 31, б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затрачиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа равна , где Δх – смещение грани ВС при сдвиге, а S – площадь этой грани. Если а – длина ребра куба, то Δх = аγ, а потому , где V – объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой
.
Можно показать, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некотором направлении и сжатию в перпендикулярном направлении.
Для плотности упругой энергии при сдвиге также можно получить следующее выражение
,
из которого вытекает, что
.
Последнее выражение устанавливает связь между модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона μ и модулем сдвига G.
Деформация кручения
Вышеописанные деформации были однородными деформациями, т.е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба являются неоднородными деформациями. Это означает, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.
Возьмем однородную проволоку и закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится – каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол φ. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
,
где f – постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от описанных выше величин, характеризующих деформации, модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
|
Рис. 32. |
.
Ту же величину можно выразить иначе. Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 32. В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение A'B'DC. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Используя выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига, и приравнивая ее последнему выражению, получаем
.
Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль f найдется интегрированием последнего выражения по r. В результате получим
,
где r1 – внутренний радиус трубки, а r2 – внешний. Для сплошной проволоки радиуса r
.
Деформация изгиба
|
Рис. 33. |
.
Натяжение, таким образом, линейно меняется с расстоянием ξ. Ниже нейтрального сечения оно отрицательно, т.е. является давлением. Сумма сил натяжения и давления, действующих в сечении АВ, может быть и отличной от нуля. Будем считать, что сумма сил натяжения и давления, действующих в каждом нормальном сечении бруса, равна нулю. В таком случае нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса, т.е. . Отсюда следует, что момент сил натяжения Мτ, действующих на сечение АВ, не зависит от того, относительно какой оси он берется. Для вычисления Мτ проще всего взять ось, перпендикулярную к плоскости рисунка и проходящую через точку N. Очевидно,
,
или
,
где введено обозначение
.
Величина I называется моментом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако, в отличие от последней величины, имеющей размерность массы, умноженной на квадрат длины, в данном случае I есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины.