Задачи для самостоятельного решения
25. Найти канонические
уравнения прямой, проходящей через
точку
параллельно:
а) оси ОХ; б) оси ОY; в) оси ОZ;
г) прямой
д) прямой
.
26. Найти направляющий
вектор прямой
27. Привести к
каноническому виду прямую
-
Найти направляющие косинусы прямой
. -
Найти параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку
и параллельной вектору
;
б) проходящей через точки
и
.
30. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
а)
б)
.
31. Найти расстояние
от точки
до прямой:
а)
;
б)
;
в)
32. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть у прямых
и
известны направляющие векторы
и
соответственно.
Под углом
между двумя прямыми в пространстве
понимается любой из двух смежных углов,
которые образуют прямые, проведенные
параллельно данным через какую-нибудь
точку пространства
.
Угол
находится исходя из формулы
.
(3.32)
Условие параллельности прямых:
.
(3.33)
Условие перпендикулярности прямых:
.
(3.34)
Примеры
11. Найти величину угла между прямыми
и
Р е ш е н и е.
Направляющий вектор первой прямой
.
Находим направляющий вектор
,
т. е.
.
,
.
12. Установить взаимное расположение прямых:
а)
и
;
б)
и
.
Р е ш е н и е. а) Выпишем направляющие векторы прямых:
,
.
Так как координаты этих векторов
пропорциональны
,
то данные прямые параллельны или
совпадают. Возьмем на первой прямой
какую-нибудь точку, например точку
.
Подставим ее координаты в уравнение
второй прямой:
Получаем
из первого уравнения,
из второго,
из третьего. Так
как полученные значения различны, то
это означает, что точка
не принадлежит второй прямой. Прямые
не совпадают, значит, они параллельны;
б) координаты
направляющих векторов
и
данных прямых не пропорциональны.
Следовательно, прямые либо пересекаются,
либо являются скрещивающимися. Выпишем
координаты точек, через которые проходят
данные прямые:
и
.
Проверим условие принадлежности двух
прямых одной плоскости:
=0,
.
Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.
Задачи для самостоятельного решения
33. Найти величину острого угла между прямыми
а)
и
;
б)
и
34. Выяснить взаимное расположение прямых:
а)
и
б)
и
.
35. Даны прямые
,
.
При каком значении параметра m
прямые: а) перпендикулярны; б) параллельны?
3.7. Прямая и плоскость в пространстве
Величина угла
между прямой (L)
и плоскостью
определяется по формуле
.
(3.35)
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
(3.36)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
(3.37)
Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из решения системы уравнений:
(3.38)
Примеры
13. Найти величину
угла между прямой
и плоскостью
Р е ш е н и е. Применим формулу (3.35):
.
14. Установить взаимное расположение прямой и плоскости:
а)
и
;
б)
и
.
Р е ш е н и е.
а) Имеем
,
.
Прямая не перпендикулярна плоскости,
так как координаты векторов
и
не пропорциональны:
.
Условие параллельности прямой и плоскости (3.36) также не выполняется:
.
Следовательно, прямая пересекает плоскость. Параметрические уравнения прямой подставим в уравнение плоскости и найдем точку пересечения:
.
б) Имеем
,
.
Условие (3.36) параллельности прямой и плоскости выполняется:
.
Следовательно, данная прямая параллельна плоскости или принадлежит ей.
Возьмем любую
точку
прямой, например
.
Подставим ее координаты в уравнение
плоскости:
.
Следовательно, прямая принадлежит плоскости.