Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору и проходящей через точку , если:

а) ; б) ;

в) .

2. Составить уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку если:

а) , ; б) , ;

в) , .

3. Дана прямая Составить уравнение прямой, проходящей через точку

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно к данной прямой.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси отрезок, вдвое больший, чем на оси ОХ.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки , , если:

а) , ; б) , ; в) , .

7. Вершины треугольника АВС находятся в точках , , .

Требуется:

а) составить уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

б) найти длину высоты из вершины С треугольника АВС;

в) составить уравнения высот треугольника АВС;

г) показать, что высоты пересекаются в одной точке.

8. Привести данные уравнения к уравнениям с угловым коэффициентом: а) ; б) в) .

9. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси отрезок и образующей с осью ОХ угол :

а) ; б) .

3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть у прямых и известны либо:

а) направляющие векторы , ;

б) нормальные векторы , ;

в) угловые коэффициенты и .

Под углом между двумя прямыми понимается любой из двух смежных углов, образованных прямыми при их пересечении .

Угол находится исходя из одной из формул:

а) ; (3.9)

б) ; (3.10)

в) . (3.11)

Условия параллельности прямых

а) ; (3.12)

б) ; (3.13)

в) . (3.14)

Условия перпендикулярности прямых :

а) (3.15)

б) (3.16)

в) . (3.17)

Примеры

3. Какие из следующих пар прямых параллельны, пересекаются:

а)

б)

в)

Р е ш е н и е. а) Для первой прямой , для второй прямой .

Тогда проверим условие (3.13):

.

Но так как то прямые совпадают.

б) .

Так как выполняется условие (3.13): , то прямые параллельны.

в) , . Так как не выполняется условие (3.13): то прямые пересекаются.

Задачи для самостоятельного решения

10. Вычислить угол между данными прямыми:

а)

б) ;

в) .

11. При каком значении параметра прямые :

а) параллельны; б) перпендикулярны?

12. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.

13. Даны уравнения двух сторон прямоугольника и одна из его вершин .

Требуется:

а) составить уравнение двух других сторон прямоугольника;

б) вычислить площадь прямоугольника.

14. Найти расстояние между параллельными прямыми:

а) ,

б) , ; в) , .