Задачи для самостоятельного решения

13. Упростить выражения:

1) ; 2) .

14. Вычислить , если известно, что

15. Векторы и перпендикулярны. Зная, что , , вычислить 1) ; 2) .

16. Даны точки , , . Вычислить векторные произведения:

1) 2) .

17. Даны точки , . Вычислить площадь треугольника АВС.

18. Вычислить смешанное произведение , если известно, что

, ,

19. Вычислить смешанное произведение , если .

20. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

21. Объем тетраэдра три его вершины находятся в точках . Найти координаты вершины D, если известно, что она лежит на оси ОY.

Глава III. Основы аналитической геометрии

1. Уравнения прямой на плоскости

Будем предполагать, что на плоскости задана прямоугольная система координат .

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором :

. (3.1)

Общее уравнение прямой:

, . (3.2)

Частные случаи общего уравнения прямой:

1) – прямая проходит через начало координат;

2) , – прямая параллельна оси ;

3) , – прямая параллельна оси ОХ;

4) – уравнение оси ОY;

5) – уравнение оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках:

, (3.3)

где а и b – величины направленных отрезков, которые прямая отсекает на осях координат и соответственно .

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный этой прямой.

Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (каноническое уравнение прямой):

. (3.4)

Параметрические уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором

. (3.5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :

. (3.6)

Равенства () (3.6) понимаются в смысле пропорции, поэтому один из знаменателей может равняться нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , (3.7)

где – угловой коэффициент прямой; – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – величина отрезка, отсекаемого на оси OY.

Расстояние от точки до прямой

. (3.8)

Примеры

1. Дано общее уравнение прямой . Составить для этой прямой:

а) уравнение с угловым коэффициентом;

б) уравнение в отрезках.

Р е ш е н и е. а) Разрешив уравнение прямой относительно у, получаем уравнение с угловым коэффициентом:

здесь ;

б) , , .

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Р е ш е н и е. Подставляя координаты точек в (3.6), получаем искомое уравнение прямой:

или .