7. Приклади розв’язання й оформлення практичних завдань

1. Задача 1

Необхідно визначити ступінь узгодженості думок експертів за результатами оцінки ними семи об'єктів інвестування, які наведено у таблиці 5.1.

Таблиця 5.1 – Експертні оцінки об'єктів інвестування

Номер об'єкта інвестуванняОцінки експертів, балиОцінка об'єкта за повної узгодженості думок експертів, бали
12	3		4	5
146	4		4	3	5
233	2		3	4	3
322	1		2	2	2
465	6		5	6	6
511	3		1	1	1
654	5		6	5	4
777	7		7	7	7

Розв’язання

1. Визначимо сумарні ранги важливості по кожному об'єкту інвестування за оцінками експертів:

Об'єкт «1» 4+6+4+4+3=21 балів

Об'єкт «2» 3+3+2+3+4=15 балів

Об'єкт «3» 2+2+1+2+2=9 балів

Об'єкт «4» 6+5+6+5+6=28 балів

Об'єкт «5» 1+1+3+1+1=7 балів

Об'єкт «6» 5+4+5+6+5=25 балів

Об'єкт «7» 7+7+7+7+7=35 балів

Отже найбільший сумарний ранг важливості (35 балів) має об'єкт інвестування „7”, найменший (7 балів) - об'єкт «5». Тобто інвестування коштів у об’єкт „7” є найбільш доцільним.

2. Сумарні ранги важливості об'єктів інвестування за умови повної узгодженості думок експертів:

Об'єкт «1» 5*5=25 балів

Об'єкт «2» 3*5=15 балів

Об'єкт «3» 2*5=10 балів

Об'єкт «4» 6*5=30 балів

Об'єкт «5» 1*5=5 балів

Об'єкт «6» 4*5=20 балів

Об'єкт «7» 7*5=35 балів

За умови повної узгодженості думок найбільший сумарний ранг важливості (35 балів) буде мати об'єкт експертизи «7», найменший (5 балів) – об'єкт «5». Тобто найбільш доцільним є вкладення коштів у об’єкт „7”.

3. Визначимо середнє значення сумарної оцінки за формулою:

де - середнє значення сумарної оцінки;

п – кількість експертів;

т – кількість об'єктів експертизи.

=20 балів

4. Фактична дисперсія сумарних оцінок експертів:

5. Дисперсія сумарних оцінок за умови повної узгодженості думок експертів:

6. Коефіцієнт конкордації визначимо за формулою:

Оскільки значення коефіцієнта конкордації вище 0,5, то думки експертів можна вважати узгодженими, а надані ними оцінки можна використовувати для розробки та прийняття управлінських рішень.

Задача 2

У звітному періоді попит на продукцію «А», що виробляється на підприємстві, характеризувався наступними даними:

Попит, т45	6	7	8
Число днів49	12	4	2

Ціна 1 т продукції становить 6 тис. грн. Витрати на виробництво й збут 1 т продукції дорівнюють 4,5 тис. грн.

Побудувати матрицю виграшів і матрицю ризиків підприємства. Обґрунтувати оптимальний варіант прийняття рішення про вибір обсягу випуску продукції «А» в умовах ризику та невизначеності на основі принципу недостатнього обґрунтування Лапласа, максимінного критерію Вальда, мінімаксного критерію Севіджа та критерію узагальненого максиміну (песимізму-оптимізму) Гурвіца.

Розв’язання

1. Прибуток підприємства від реалізації 1 т продукції «А»:

П = 6,0-4,5=1,5 тис. грн.

2. Визначимо ймовірності різних рівнів попиту на продукцію «А»:

4 т: 4/31=0,129

5 т: 9/31=0,290

6 т: 12/31=0,387

7 т: 4/31=0,129

8 т: 2/31=0,065

3. Побудуємо матрицю виграшів (таблиця 5.2).

Таблиця 5.2 – Матриця виграшів

45 Попит Виробництво	6	7	8	Середній сподіваний прибуток
(0,129)(0,29)	(0,387)	(0,129)	(0,065)
46,06,0	6,0	6,0	6,0	6,0
51,57,5	7,5	7,5	7,5	6,73
6-3,03,0	9,0	9,0	9,0	5,71
7-7,5-1,5	4,5	10,5	10,5	2,38
8-12,0-6,0	0,0	6,0	12,0	-1,73

Отже з погляду очікуваного прибутку найкращим є рішення про виробництво 5 т продукції «А» на день. При цьому сума середнього сподіваного прибутку становитиме 6,73 тис.грн.

4. Побудуємо матрицю збитків (ризиків) (таблиця 5.3).

Таблиця 5.3 – Матриця ризиків

45 Попит Виробництво	6	7	8	Середній сподіваний збиток
(0,129)(0,29)	(0,387)	(0,129)	(0,065)
401,5	3,0	4,5	6,0	2,567
54,50	1,5	3,0	4,5	1,841
69,04,5	0	1,5	3,0	2,855
713,59,0	4,5	0	1,5	6,191
818,013,5	9,0	4,5	0	10,301

Таким чином, при прийнятті рішення про виробництво 5 т продукції «А» на день середня сподівана величина недоотриманого прибутку буде мінімальною й становитиме 1,841 тис. грн. Отже, цей варіант є найменш ризикованим і його можна рекомендувати як оптимальний.

5 Виходячи з того, що рішення приймається в умовах невизначеності, допускаємо, що кожний з обсягів попиту має однакову ймовірність, що дорівнює 0,2 (1:5).

6 Відповідно до принципу недостатнього обґрунтування Лапласа перевагу слід надати варіанту, який забезпечує мінімальний середній збиток.

Розрахуємо середньозважений показник ризику для кожного з варіантів рішень за даними матриці ризиків:

R₄ = 0 * 0,2 +1,5*0,2+3,0*0,2+4,5*0,2+6*0,2 = 3,0 тис. грн

R₅ = 4,5 * 0,2 +0*0,2+1,5*0,2+3,0*0,2+4,5*0,2 = 2,7 тис. грн

R₆ = 9,0 * 0,2 +4,5*0,2+0*0,2+1,5*0,2+3,0*0,2 = 3,6 тис. грн

R₇ = 13,5 * 0,2 +9,0*0,2+4,5*0,2+0*0,2+1,5*0,2 = 5,7 тис. грн

R₈ = 18,0 * 0,2 +13,5*0,2+9,0*0,2+4,5*0,2+0*0,2 = 9,0 тис. грн

Результати розрахунків показують, що найменший середньозважений показник ризику (2,7 тис.грн.) відповідає варіанту виробництва 5т продукції «А», тобто цей варіант і є оптимальний.

7 Відповідно до максимінного критерію Вальда найкращим рішенням буде те, для якого виграш є максимальним із усіх мінімальних за різних варіантів умов:

max min a_ij

i j

Відповідно до матриці прибутку при прийнятті рішення про виробництво 4 т продукції «А» прибуток незалежно від попиту становитиме 6 тис. грн; у випадку виробництва 5 т продукції мінімальне значення прибутку становитиме 1,5 тис. грн, при виробництві 6 т збиток становитиме 3 тис. грн, при виробництві 7 т – 7,5 тис. грн, при виробництві 8 т – 12 тис. грн.

Отже, найбільшим з обраних мінімальних значень є 6 тис. грн., що відповідає варіанту виробництва 4 т продукції «А». Це означає, що обравши варіант виробництва 4 т продукції «А», незалежно від рівня попиту підприємство отримуватиме прибуток не менш 6 тис. грн. Тобто це і є оптимальний варіант виробництва продукції відповідно до максимінного критерію Вальда.

8. Відповідно до мінімаксного критерію Севіджа оптимальним буде рішення, для якого максимальні втрати за різних варіантів умов виявляться мінімальними:

min max Н_ij

i j

де Н_ij – втрати, що відповідають i-му рішенню при j – му варіанті обстановки.

З матриці збитків випливає, що при виборі варіанта виробництва 4 т продукції максимальні збитки можуть скласти 6 тис. грн., при виробництві 5 т – 4,5 тис. грн., при виробництві 6 т – 9 тис. грн, при виробництві 7 т – 13,5 тис. грн., при виробництві 8 т – 20 тис. грн. Тобто з перерахованих значень максимальних збитків мінімальними є збитки в розмірі 4,5 тис. грн, що відповідає варіанту виробництва 5 т продукції «А». Отже, цей варіант виробництва і є оптимальним. Це значить, що за будь-яких варіантів обстановки втрати не перевищать 4,5 тис. грн.

8. Відповідно до критерію узагальненого максиміну (песимізму-оптимізму) Гурвіца перевагу слід надати тому варіанту рішення, для якого виявиться максимальним значення показника G, що розраховується за формулою:

де k – коефіцієнт, що розглядається як показник оптимізму (0 k 1), при k = 0 – лінія поводження в розрахунку на краще, при k = 1 – у розрахунку на гірше;

a_ij – виграш, що відповідає i-му рішенню при j – му варіанті обстановки.

Значення показника G у залежності від величини коефіцієнта k для різних варіантів виробництва представимо у таблиці 5.4.

Таблиця 5.4 - Значення показника G у залежності від величини коефіцієнта k

Варіанти виробництва, тЗначення коефіцієнта k
0,000,25		0,50	0,75	1,00
46,06,0		6,0	6,0	6,0
57,56,0		4,5	3,0	1,5
69,06,0		3,0	0	-3,0
710,56,0		1,5	-3,0	-7,5
812,05,5		-1,0	-7,5	-14,0
Оптимальне рішення84-7		4	4	4

З даних таблиці видно, що при зміні відношення до ризику особи, що приймає рішення, оптимальний варіант рішення змінюється. Однак для більшості розглянутих сполучень оптимальним є варіант виробництва 4 т продукції «А».

Задача 3

Сподівана прибутковість інвестиційних проектів «А» і «В» дорівнює, відповідно, 10 і 20%, їх середньоквадратичні відхилення дорівнюють 5 і 60 %. Коефіцієнт кореляції прибутковості інвестиційних проектів дорівнює 0,5.

Розрахувати сподівану прибутковість і середньоквадратичне відхилення портфеля, якщо на здійснення проекту «А» інвестор планує вкласти 40% коштів, а решту – направити на здійснення проекту «В».

Визначити ефект зниження ризику за рахунок диверсифікації. Зробити висновки.

Розв’язання

1. Визначимо частку інвестицій, які планується направити на здійснення проекту «В», з формули:

w₁+w₂=1

де w₁ - частка коштів, інвестованих у перший проект;

w₂ - частка коштів, інвестованих у другий проект.

Тоді w₂=1- w₁

w₂ = 1-0,4=0,6 або 60%.

Тобто у проект «В» планується вкласти 60% коштів.

2. Визначимо сподівану прибутковість інвестиційного портфеля за формулою:

,

де - середнє значення сподіваної прибутковості інвестицій;

Д_i – сподівана прибутковість і-го проекту;

w_i – частка коштів, що інвестуються у і-ий проект.

= 10%*0,4+20%*0,6 = 16%

Тобто при здійсненні проектів «А» і «В» у вигляді портфеля середня сподівана прибутковість інвестицій становитиме 16%.

3. Визначимо середньоквадратичне відхилення очікуваної прибутковості портфеля за формулою:

де - середньоквадратичне відхилення інвестиційного портфеля;

- середньоквадратичне відхилення і -го проекту, що входить до інвестиційного портфелю.

= 5%*0,4+60%*0,6=38%

Тобто при здійсненні проектів «А» і «В» у вигляді інвестиційного портфеля коливання індивідуальних значень сподіваної прибутковості інвестицій навколо середнього значення сподіваної прибутковості в середньому становитиме 38%.

4. Визначимо середньоквадратичне відхилення з урахуванням кореляції прибутковості проектів, які планується включити до портфеля, за формулою:

де - середньоквадратичне відхилення з урахуванням кореляції;

- середньоквадратичні відхилення прибутковості проектів «А» і «В»;

- коефіцієнт кореляції прибутковості проектів.

Тобто при здійсненні проектів «А» і «В» у вигляді інвестиційного портфеля розкид індивідуальних значень прибутковості інвестицій навколо середнього значення з урахуванням кореляції становитиме 37,04%.

5. Визначимо ефект зниження ризику за рахунок диверсифікації за формулою:

Тобто за умови здійснення проектів «А» і «В» у вигляді портфеля загальний ризик портфеля, вимірюваний середньоквадратичним відхиленням, з урахуванням кореляції дохідності проектів буде нижче, ніж середньозважене значення ризику на 0,96 %.