![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Самостійна робота № 1 Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку
- •1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін
- •1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними
- •1.3 Однорідні диференційні рівняння, та рівняння, що до них зводяться
- •1.4 Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті
- •1.5 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник
- •1.6 Індивідуальні завдання
- •1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1
- •2 Самостійна робота № 2 Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки
- •2.1 Індивідуальні завдання
- •2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
- •3 Рекомендована література
- •4 Вимоги до оформлення лабораторних робіт
- •Додаток а Зразок титульної сторінки лабораторної роботи
2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
Приклад 2.2.1 Розв’язати рівняння `
(2.8)
Розв’язок:
Розв’язавши
це рівняння відносно
будемо мати
або
,
,
звідки
,
Приклад 2.2.2 Розв’язати рівняння
(2.9)
та знайти особливий розв’язок.
Розв’язок:
Вводимо
параметр
,
(2.10)
Беремо
повний диференціал від обох частин
рівності (2.10) та замінюємо
на
:
або
Розв’язуємо отримане рівняння
(2.11)
а) Якщо
,
то скорочуємо на
:
,
.
Підставляючи це в (2.10), отримаємо розв’язок у параметричній формі
,
(2.12)
В даному
випадку розв’язок можна знайти в явному
вигляді, виключаючи параметр
з рівнянь (2.12)
(2.13)
б) Нехай
в (2.11)
.
Підставляючи
в (2.10) отримаємо розв’язок
.
Знайдемо особливі розв’язки рівняння
(2.9). Знайдемо похідну від обох його
частин по
:
(2.14)
Виключимо
з рівнянь (2.9), (2.14). З (2.14) маємо
,
підставляючи це в (2.9) отримаємо рівняння
дискримінантної кривої
(2.15)
Перевіримо, чи буде вона особливим розв’язком. Спочатку перевіряємо, чи є вона розв’язком рівняння (2.9). Підставляючи (2.15) в (2.9) отримаємо тотожність, тобто крива (2.15) - розв’язок.
Далі
перевіримо, чи є цей розв’язок особовим,
тобто чи дотикаються до нього в кожній
точці інші розв’язки. Інші розв’язки
описуються рівнянням (2.13). Запишемо
умови дотику кривих
и
в точці з абсцисою
:
,
(2.16)
Для розв’язків (2.13) та (2.15) ці умови набувають вигляду
,
З другої
рівності маємо
,
підставляючи це в першу рівність,
отримаємо
.
Ця рівність виконується при будь-яких
.
Значить, при кожному
розв’язок
в точці
дотикається до однієї з кривих сімейства
(2.13), а саме до тієї кривої, для якої
.
Таким
чином, в кожній точці розв’язок
дотикається до іншого розв’язку (2.13),
який з ним не співпадає. Тому, розв’язок
- особливий.
Приклад 2.2.3 Розв’язати рівняння Лагранжа
(2.17)
Розв’язок:
Покладемо
.
Тоді
.
Диференціюючи, знаходимо
.
Звідки
,
або
.
Отримали рівняння першого порядку,
лінійне по
.
Розв’язуючи його, знаходимо
.
Підставляючи знайдене значення
в вираз для
,
отримаємо
,
Приклад 2.2.4 Розв’язати рівняння Клеро
,
(2.18)
Розв’язок:
Покладаючи
в
(2.18)
,
отримаємо
(2.19)
Диференціюючи,
знаходимо
,
звідки
.
Дослідимо обидва множника:
1
.
Загальний розв’язок
2
Виключаючи
з цього рівняння, та з рівняння (2.19),
отримаємо
.
Це також розв’язок рівняння (2.18). Окрім
того він є особливим розв’язком.
3 Рекомендована література
3.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.
3.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.
3.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.
3.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.
3.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.
3.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.