![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Самостійна робота № 1 Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку
- •1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін
- •1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними
- •1.3 Однорідні диференційні рівняння, та рівняння, що до них зводяться
- •1.4 Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті
- •1.5 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник
- •1.6 Індивідуальні завдання
- •1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1
- •2 Самостійна робота № 2 Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки
- •2.1 Індивідуальні завдання
- •2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
- •3 Рекомендована література
- •4 Вимоги до оформлення лабораторних робіт
- •Додаток а Зразок титульної сторінки лабораторної роботи
1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1
Приклад 1.7.1 За допомогою ізоклін побудувати інтегральні криві рівняння
Розв’язок:
Покладемо
,
отримаємо рівняння сімейства ізоклін
.
Таким
чином, ізоклінами є прямі, які проходять
через початок координат. При
отримаємо ізокліну
,
при
- ізокліну
,
при
= ізокліну
.
Розглядаючи перевернуте рівняння
знайдемо ізокліну
,
у всіх точках якої інтегральні криві
мають вертикальні дотичні. За допомогою
отриманих ізоклін будуємо інтегральні
криві, як на рис.1.
Рисунок 1.1 – Наближений графік розв’язку рівняння
Приклад 1.7.2 Розв’язати рівняння
(1.17)
Розв’язок: Перетворимо рівняння (1.17) до вигляду
=>
Ділимо
обидві частини рівняння на
.
Отримаємо
Змінні розділені. Інтегруємо обидві частини
=>
При
діленні на
могли бути втрачені розв’язки
і
.
Перевіркою з’ясовуємо, що
- є розв’язком рівняння (1.17), а
-ні.
Приклад 1.7.3 Знайти розв’язок рівняння
, (1.18)
який задовольняє початковій умові
(1.19)
Розв’язок:
Маємо
.
Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо
(1.20)
Вважаючи
в (1.20)
,
будемо мати
.
Підставляючи С в (1.20), отримаємо
або
.
Приклад 1.7.4 Знайти розв’язок задачі Коші
,
(1.21)
Розв’язок:
Приведемо
рівняння до вигляду
та зробимо заміну змінних
.
Тоді
,
і рівняння набуває вигляду
.
Розділяємо
змінні
та інтегруємо
=>
=>
.
Повертаємось
до старої змінної
,
- загальний розв’язок рівняння (1.21).
Знайдемо
розв’язок в точці
,
:
.
Отже,
частинний розв’язок має вигляд
.
Приклад 1.7.5 Розв’язати рівняння
(1.22)
Розв’язок:
Функції
,
мають
другий ступень, тому рівняння однорідне.
Покладемо
.
Тоді
.
Підставляючи в (1.22), отримаємо
=>
.
Розділяємо
змінні
та
інтегруємо
=>
=>
Повертаючись
до старої змінної, отримаємо загальний
інтеграл рівняння
.
Окрім
того, маємо розв’язок
,
який було втрачено при діленні на
.
Приклад 1.7.6 Розв’язати рівняння
(1.23)
Розв’язок: Знайдемо точку перетину прямих
,
Зробимо
заміну змінних
.
Рівняння (1.23) набуде вигляду
(1.24)
Рівняння
(1.24) є однорідним. Покладемо
.
Отримаємо
.
Звідки
.
Розділимо змінні
.
Інтегруючи, знаходимо
,
.
Повертаємось
до змінних
:
,
або
Приклад 1.7.7 Розв’язати рівняння
(1.25)
Розв’язок:
Зробимо
підстановку
,
.
Підставимо в (1.25)
або
.
Рівняння
буде однорідним, якщо ступені усіх
доданків однакові
.
Звідки
,
.
Отже, маємо
і рівняння (1.25) набуває вигляду
,
яке є однорідним. Покладемо
.
Тоді
,
або
.
Розділюючи
змінні, отримуємо
або
.
Повертаючись
до старих змінних, отримуємо загальний
інтеграл рівняння (1.25)
Приклад 1.7.8 Розв’язати рівняння
,
(1.26)
Розв’язок:
Зробимо
заміну змінних
.
Рівняння
(1.26) набуде вигляду
,
або
(1.27)
Рівняння (1.27) – лінійне неоднорідне. Відкидаючи праву частину, розв’язуємо лінійне однорідне рівняння
(1.28)
Розділимо
змінні
.
Інтегруючи, отримуємо
=>
=>
Вважаючи
функцією, залежною від
,
застосовуємо метод варіації довільної
сталої.
(1.29)
(1.30)
Підставимо (1.29), (1.30) у рівняння (1.26)
=>
=>
.
Звідки
Підставимо
в рівняння (1.29) та одержимо загальний
розв’язок
лінійного неоднорідного рівняння
(1.27). Повернемося до змінної
.
Приклад
1.7.9 Розв’язати
рівняння
(1.31)
Розв’язок:
Знайдемо
частинний розв’язок рівняння
і зробимо заміну змінних
(1.32)
Підставимо (1.32) в рівняння (1.31)
,
або
(1.33)
Одержали
рівняння Бернуллі з
.
Зробимо заміну
або
Знайдемо розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.
,
=>
(1.34)
Застосуємо метод варіації довільної сталої
(1.35)
Підставимо
і
в лінійне неоднорідне рівняння
Інтегруючи, одержимо
(1.36)
Підставляючи (2.36) в рівняння (1.35) одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння
(1.37)
Послідовно
повертаємось до змінних
та
,
.
Приклад 1.7.10 Знайти загальний розв’язок рівняння
(1.38)
Розв’язок:
,
.
Перевіримо виконання умови
:
,
.
Умова виконується. Знаходимо загальний
розв’язок рівняння (1.38)
Приклад 1.7.11 Знайти загальний розв’язок рівняння
(1.39)
Розв’язок:
,
.
Перевіримо виконання умови
:
,
.
Умова не виконується. Підберемо
інтегруючий множник, так щоб виконалася
умова
,
або
.
Звідки
(1.40)
Припустимо,
що
і рівняння (1.39) набуває вигляду
.
Рівняння
є рівнянням в повних диференціалах.
Його ліву частину можна звести до вигляду
.
Звідки
і загальний інтеграл даного рівняння
є
.