2 Самостійна робота № 2 Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки
Рівняння, не розв’язані відносно похідної в загальному випадку мають вигляд
(2.1)
Методи розв’язування таких рівнянь залежать від їх вигляду:
а)
розв’язати рівняння відносно
,
тобто з рівняння (2.1) виразити
через
та
.
Отримаємо одне чи декілька рівнянь
вигляду
,
кожне з яких розв’язується окремо;
б) метод
введення параметру.
Нехай рівняння (2.1) можна розв’язати
відносно
,
тобто записати у вигляді
.
Вводячи параметр
(2.2)
отримаємо
(2.3)
Обчислимо
повний диференціал від обох частин
рівності (2.3) та замінімо
на
Якщо
розв’язок цього рівняння знайдено у
вигляді
,
то скориставшись рівністю (2.3), отримаємо
розв’язок вихідного рівняння в
параметричному запису
,
З
допомогою цього ж методу розв’язуються
рівняння вигляду
;
в) рівняння Лагранжа має вигляд
(2.4)
Покладаючи
,
методом диференціювання з заміною
на
,
зводимо це рівняння до лінійного відносно
,
як функції
.
Нехай
розв’язок лінійного рівняння. Тоді
загальний розв’язок рівняння Лагранжа
у параметричній формі має вигляд
,
;
г) рівняння Клеро має вигляд
(2.5)
Для
розв’язання рівняння (2.5) використовується
той самий метод, що й для рівняння
Лагранжа. Загальний розв’язок має
вигляд
.
Розв’язок
диференціального рівняння (2.1) називається
особливим,
якщо у кожній його точці порушується
властивість єдиності, тобто через кожну
його точку
,
окрім цього розв’язку проходить і іншій
розв’язок, який має в точці
ту ж саму дотичну, що й розв’язок
але не співпадає з ним в досить малому
околі
.
Графік особливого розв’язку називається
особовою інтегральною кривою рівняння
(2.1). Якщо функція
та її часткові похідні
і
неперервні за всіма аргументами
,
то будь-який особливий розв’язок
рівняння (2.1) задовольняє також рівнянню
(2.6)
Таким
чином, для того щоб знайти особливі
розв’язки рівняння (2.1) треба вилучити
з рівнянь (2.1), (2.6). Отримане в результаті
цього рівняння
(2.7)
називається
-
дискримінантом
рівняння (2.1), а крива (2.7) називається
-
дискримінантною
кривою. Часто
-
дискримінантна
крива розпадається на декілька гілок.
Тоді треба перевірити, чи є кожна окрема
гілка розв’язком рівняння (2.1) і якщо
є, чи буде він особливим, тобто чи
порушується його єдиність в кожній
точці.
2.1 Індивідуальні завдання
1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
|
2.1.1
|
2.1.2
|
|
2.1.3 |
2.1.4
|
|
2.1.5
|
2.1.6
|
|
2.1.7
|
2.1.8
|
|
2.1.9
|
2.1.10
|
|
2.1.11
|
2.1.12
|
|
2.1.13
|
2.1.14
|
|
2.1.15
|
2.1.16
|
|
2.1.17
|
2.1.18
|
|
2.1.19
|
2.1.20
|
2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
|
2.1.1
|
2.1.2
|
|
2.1.3
|
2.1.4
|
|
2.1.5
|
2.1.6
|
|
2.1.7
|
2.1.8
|
|
2.1.9
|
2.1.10
|
|
2.1.11
|
2.1.12
|
|
2.1.13
|
2.1.14
|
|
2.1.15
|
2.1.16
|
|
2.1.17
|
2.1.18
|
|
2.1.19
|
2.1.20
|
3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
|
2.1.1
|
2.1.2
|
|
2.1.3
|
2.1.4
|
|
2.1.5
|
2.1.6
|
|
2.1.7
|
2.1.8
|
|
2.1.9
|
2.1.10
|
|
2.1.11
|
2.1.12
|
|
2.1.13
|
2.1.14
|
|
2.1.15
|
2.1.16
|
|
2.1.17
|
2.1.18
|
|
2.1.19
|
2.1.20
|
4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
|
2.1.1
|
2.1.2
|
|
2.1.3
|
2.1.4
|
|
2.1.5
|
2.1.6
|
|
2.1.7
|
2.1.8
|
|
2.1.9
|
2.1.10
|
|
2.1.11
|
2.1.12
|
|
2.1.13
|
2.1.14
|
|
2.1.15
|
2.1.16
|
|
2.1.17
|
2.1.18
|
|
2.1.19
|
2.1.20
|
5 Знайти
лінію, яка проходить через т.
і таку, що в будь-якій її точці
нормальний вектор
з кінцем на вісі
,
має довжину, яка дорівнює
,
та утворює гострий кут з додатнім
напрямом вісі
.
|
2.1.1
|
2.1.2
|
|
2.1.3
|
2.1.4
|
,
,
,
,
Знайти
лінію, яка проходить через т.
,
якщо відрізок будь-якої нормалі, який
знаходиться між віссю
віссю
та ділиться точкою лінії у відношенні
(рахуючи від вісі
).
|
2.1.5
|
2.1.6
|
|
2.1.7
|
2.1.8
|
,
,
,
,
Знайти
лінію, яка проходить через т.
,
якщо відрізок будь-якої її дотичної,
який знаходиться між точкою дотику
віссю
,
ділиться в точці дотику з віссю абсцис
у відношенні
(рахуючи від вісі
).
|
2.1.9
|
2.1.10
|
|
2.1.11
|
2.1.11.
|
,
,
,
,
Знайти
лінію, яка проходить через т.
,
якщо відрізок будь-якої її дотичної,
який знаходиться між віссю
та віссю
,
ділиться в точці дотику у відношенні
(рахуючи від вісі
).
|
2.1.13
|
2.1.14
|
|
2.2.15
|
2.1.16
|
,
,
,
,
Знайти
лінію, яка проходить через т.
і володіє властивістю, що в будь-якій
точці
дотичний вектор
з кінцем на вісі
має проекцію на вісь
,
яка дорівнює
.
|
2.1.17
|
2.1.18
|
|
2.1.19
|
2.1.20
|
,
,
,
,
