Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Модуль 2_4 Формулы пр.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
1.63 Mб
Скачать

Парабола

Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).

. ,

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,

точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус; - уравнение директрисы; - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).

- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0,y0);

- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;

- параметрические уравнения параболы.

Уравнения прямых

- уравнения двух пересекающихся прямых;

- уравнения двух параллельных прямых;

- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.

Преобразования координат

Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

и

где и

- уравнение окружности с центром

в точке O1(x0,y0) и радиусом R;

- уравнения эллипса и гиперболы с

центром симметрии в точке O1(x0,y0);

- уравнения асимптот гиперболы;

- уравнение параболы с вершиной в точке O1(x0,y0).

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

  1. Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

  1. Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

  1. Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

, .

Связь полярных координат с декартовыми

M(x,y) и M(,):

Окружности

а=const >0.

, а=const >0.

Спирали

А рхимедова спираль: =а,.

Гиперболическая спираль: , a > 0.

Логарифмическая спираль: .

Розы

Двухлепестковые розы: .

Четырехлепестковые розы a > 0

Трёхлепестковые розы:

Лемниската Бернулли

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a2.

Кардиоида

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

Параметрическое задание линий

Окружность

- параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

Циклоида

где .

При получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3a2.

Астроида

где

В декартовых координатах уравнение астроиды

x2/3+y2/3=R2/3.

Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3R2/8.