- •Основные понятия и формулы
- •I. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
- •Базис и координаты
- •Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Парабола
- •Преобразования координат
- •IV. Поверхности второго порядка
- •620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Парабола
Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
. ,
- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,
точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус; - уравнение директрисы; - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).
- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0,y0);
- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;
- параметрические уравнения параболы.
Уравнения прямых
|
- уравнения двух пересекающихся прямых; |
|
|
- уравнения двух параллельных прямых; |
|
|
- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых. |
Преобразования координат
Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:
и
где и
в точке O1(x0,y0) и радиусом R;
- уравнения эллипса и гиперболы с
центром симметрии в точке O1(x0,y0);
- уравнения асимптот гиперболы;
- уравнение параболы с вершиной в точке O1(x0,y0).
При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение
линии второго порядка другим уравнением
.
При этом выражения и
остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.
С их помощью различают три типа линий второго порядка.
-
Эллиптический тип, если .
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс
и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .
-
Гиперболический тип, если .
К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .
-
Параболический тип, если .
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).
Линии в полярной системе координат
Полярные координаты
, .
Связь полярных координат с декартовыми
M(x,y) и M(,):
а=const >0.
, а=const >0.
Спирали
А рхимедова спираль: =а,.
Гиперболическая спираль: , a > 0.
Логарифмическая спираль: .
Розы
Двухлепестковые розы: .
Четырехлепестковые розы a > 0
Трёхлепестковые розы:
Лемниската Бернулли
Вершины кривой находятся в точках
Площадь каждой петли S=a2.
Кардиоида
В полярных координатах
Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).
Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.
Параметрическое задание линий
Окружность
Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:
.
Циклоида
где .
При получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3a2.
Астроида
где
В декартовых координатах уравнение астроиды
x2/3+y2/3=R2/3.
Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3R2/8.