Кривые второго порядка

Эллипс

Эллипс - геометрическое место точек , для которых сумма расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна .

и , ,

- каноническое уравнение эллипса.

Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F₁(с,0), F₂(-с,0) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ=2а и CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле .

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые и , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F₁ и F₂. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .

- параметрические уравнения эллипса, где t-параметр, ;

(t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);

- уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.

Окружность
		Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр). - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат; - с центром в точке (x₀,y₀);
		- параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x₀,y₀);
		- уравнение окружности в полярных координатах;
		- уравнение окружности с центром в точке (₀,₀);

Гипербола
	Гипербола - геометрическое место точек , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна .. и , , . - каноническое уравнение гиперболы. Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F₁(+,0) и F₂(-,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; - эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид . Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы , он определяется из уравнения . При гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности. Прямые , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F₁ и F₂. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету . Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и . Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.
	- параметрические уравнения одной ветви гиперболы;
	- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет гиперболы.