
- •Основные понятия и формулы
- •I. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
- •Базис и координаты
- •Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Парабола
- •Преобразования координат
- •IV. Поверхности второго порядка
- •620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Основные понятия и формулы
I. Векторная алгебра
В
ектор
- направленный отрезок.
Векторы коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
-
два вектора равны,
если они коллинеарны, имеют одинаковую
длину и направление.
Линейные операции над векторами
С
уммой
двух векторов
и
называется вектор, идущий из начала
вектора
в конец вектора
при условии, что начало вектора
приложено к концу вектора
(правило треугольника).
Свойства:
1
˚.
2˚.
3˚.
4˚. Для
каждого вектора
существует
противоположный
ему вектор
,
такой, что
.
Разностью
векторов
и
будет вектор
,
идущий из конца
вектора
к концу вектора
.
Произведение
вектора
на
вещественное
число
обладает свойствами:
5˚.
6˚.
7˚.
8˚.
Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
Линейной
комбинацией
векторов
называют выражение:
,
где
- произвольные действительные числа.
Система
векторов
называется линейно
зависимой,
если существуют действительные числа
,
такие, что хотя бы одно из них отлично
от нуля, и выполняется равенство:
.
(*)
В
противном случае, т.е. если линейная
комбинация (*) обращается в ноль только
при всех
,
то система векторов называется линейно
независимой.
Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.
Геометрические критерии линейной зависимости
Система
двух ненулевых векторов
линейно зависима тогда, и только тогда,
когда векторы коллинеарны.
Система
трех векторов
линейно зависима тогда и только тогда,
когда векторы компланарны.
Базис и координаты
Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.
Каждый
вектор может быть разложен по базису в
пространстве и это разложение единственно.
Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:
.
При сложении двух
векторов
и
их координаты (относительно любого
базиса) складываются. При умножении
вектора
на любое число
все его координаты умножаются на это
число.
Системой
координат в пространстве называют
совокупность базиса
и некоторой точки, называемой началом
координат.
Вектор
,
идущий из начала координат в точку
,
называется радиус-вектором точки
.
Координатами
точки
называются координаты вектора
.
Таким
образом, координаты радиус-вектора
и координаты точки
совпадают.
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначения:
,
Т
акой
базис называется ортонормированным
(ОНБ). Векторы
называются базисными ортами. Зафиксируем
точку О
– начало координат и отложим от нее
векторы
.
Полученная система координат называется
прямоугольной
декартовой.
Координаты любого вектора в этом базисе
называются декартовыми координатами
вектора:
Прямые
линии, проведенные через начало координат
по направлениям базисных векторов,
называются координатными осями:
–
порождает
;
– порождает
;
–
порождает
.
Координаты точки М
(вектора
)
в декартовой системе координат по осям
,
,
называются соответственно абсциссой,
ординатой и аппликатой.
Декартовы
прямоугольные координаты
вектора
равны проекциям этого вектора на оси
,
,
соответственно; другими словами,
,
,
.
Здесь
– углы, которые составляет вектор
с координатными осями
,
,
соответственно, при этом
,
,
называются направляющими косинусами
вектора
.
Вектор
представляет собой вектор единичной
длины данного направления, или орт
данного направления. Для направляющих
косинусов справедливо соотношение:
.
Проекция вектора
на ось l
равна
,
где
- орт оси l.
Скалярным
произведением
двух векторов называется число,
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними:
.
Если
,
,
то
.
Алгебраические и геометрические свойства:
1°.
.
2°.
3°.
,
.
4°.
,
если
,
и
,
если
.
5°.
;
.
6°.
.
7°.
=
,
.
8°.
:
- условие перпендикулярности.
9°.
,
- длина вектора.
10°.
,
,
– расстояние между двумя точками.
11°.
Направляющие
косинусы вектора:
,
,
;
cos2
α
+ cos2
β
+ cos2
= 1
Упорядоченная
тройка
некомпланарных векторов
,
,
,
приведенных к одному началу, называется
правой, если из конца третьего вектора
кратчайший поворот первого вектора
ко второму
виден совершаемым против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
-
правая
левая
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.
Если тройки
,
,
- правые, то
,
,
- левые.
При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим трем
требованиям:
1).
Длина вектора
равна произведению длин векторов
и
на синус угла между ними, т.е.
.
2).
Вектор
ортогонален к каждому из векторов
и
,
т.е.
перпендикулярен плоскости, в которой
лежат векторы
и
.
3). Вектор
направлен так, что тройка
является правой.
Алгебраические и геометрические свойства:
1°..
2.
.
3.
.
4.
для любого вектора
.
5.
=
6.
коллинеарен
.
Если
,
,
,
.
Если
и
коллинеарны, то
.
Смешанное
произведение
некомпланарных векторов
по
абсолютной величине равно объему
параллелепипеда, построенного на этих
векторах, приведенных к одному началу.
положительно, если
тройка
,
,
правая и отрицательно, если она левая.
Если
же векторы
,
,
компланарны, то
равно нулю:
.
,
.
смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения.
Если
,
,
,
то
.