1.1.4. Критерий азартного игрока

Рассмотрим теперь критерий , определяемый соотношени­ем , в соответствии с которым максимизируется по оце­ночная функция . Если воспользоваться введенны­ми выше обозначениями и , то линии уровня (в случае двух состояний) приводятся к виду

.

Они представляют собой в этом случае семейство антикону­сов, раскрывающихся вниз и налево, а их вершины располага­ются на биссектрисе координатных углов, которая выступает в качестве направляющей прямой . Чтобы найти решение, оптимальное относительно этого критерия, нужно перемещать такой антиконус с вершиной на прямой направо – вверх до тех пор, пока одна его точка остается в поле полезно­сти. Как показывает пример (рис. 1.6), сам по себе этот кри­терий не очень эффективен, поскольку он выделяет только до­минируемые варианты решений, а также допускает другие, то­же очень невыгодные варианты.

1.2. Критерий с прямыми предпочтения

Согласно соотношению

,

для -критерия, оценочной функцией которого служит

, , , (1.9)

в случае двух состояний и и при обозначениях , в качестве семейства линий уровня по­лучаются прямые

, (1.10)

Таким образом, мы имеем здесь дело с семейством прямых, отсекающих на осях отрезки и , причем предполагает­ся, что и (рис. 1.7).

Случай (соответственно, ) приводит к прямым, параллельным -оси (соответст­венно, -оси), и означает, что рассматривается лишь единст­венное состояние.)

Рис. 1.7. Функции предпочтения -критерия

Направляющая прямая – мы можем провес­ти ее так, чтобы она проходила через начало координат, – рас­полагается перпендикулярно семейству линий уровня и потому задается уравнением с угловым коэффициентом .

Под именем -критерия в действительности скрывается целое семейство критериев, в качестве определяющего пара­метра для которых можно выбрать угол или , то есть отношение соответствующих вероятностей. В зависимости от меняется соответственно наклон линий уровня и направляющих прямых.

В частном случае равных вероятностей получается критерий Бернулли с , , направляющей прямой семейством линий уровня .

Оптимальное решение и в случае -критерия находится путем перемещения линий уровня до момента, когда достига­ется последняя точка в поле полезности.

1.3. Производные критерии

1.3.1. Критерий Ходжа-Лемана

Для критерия Ходжа-Лемана (-критерия) с его задаваемой соотношением

оце­ночной функцией

в случае двух состояний и и при обозначениях , получаем в качестве семейства линий уровня

. (1.11)

Оно представляет собой двояко бесконечное семейство кривых, и это означает, что здесь могут меняться весовой множитель и отношение вероятностей , где наряду с ус­ловием вновь предполагается, что и .

Линии уровня представляют собой конусы с углами раство­ра от 90° до 180°, причем вершины конусов лежат на направляю­щей . Отрезки и , образующиеся при пересечении лучей конуса с осями и , находятся в отношении . На рис. 1.8 показано, как обстоит дело в частном случае , , , то есть когда -критерий играет по отношению к -критерию доминирующую роль, а состояние встреча­ется с большей вероятностью, чем .

Чтобы разобраться в построении линий уровня, целесооб­разно рассмотреть уровень . В этом случае вершиной ко­нуса предпочтения служит точка , а отрезки, отсекаемые на осях, суть для оси и и для оси . Все семейство линий уровня получается путем параллельных перено­сов этого специального конуса по биссектрисе первого квадран­та в качестве направляющей. Понятно, что при возрастании лучи этого конуса предпочтения теснее прилегают к ортого­нальным лучам конуса предпочтения, соответствующего -критерию, а при уменьшении прямым предпочтения , соответствующим -критерию.

Рис. 1.8. Функции предпочтения -критерия

Оптимальное решение, отвечающее -критерию, вновь получается в результате перемещения конуса предпочтения вправо – вверх по направляю­щей до тех пор, пока он в последний раз не заденет поле полезности.